【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作直線AC⊥x軸,交直線y=2x于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo),判定點(diǎn)A′是否在拋物線上,并說(shuō)明理由;

(3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線,交線段CA′于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使四邊形PACM是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1.(2)點(diǎn)A/的坐標(biāo)為(﹣3,4).點(diǎn)A/在該拋物線上.(3)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí),四邊形PACM是平行四邊形.

【解析】試題分析:(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,得到關(guān)于b、c的二元一次方程組,從而可解得b、c的值;

2)過(guò)點(diǎn)B′B′E⊥x軸于E,BB′OC交于點(diǎn)F.由平行于y軸的直線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)相同可知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2,將x=2代入直線y=﹣2x的解析式可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)點(diǎn)BB′關(guān)于直線y=﹣2x對(duì)稱,在Rt△ABC中,由勾股定理可求得OC=5,然后利用面積法可求得BF=2.由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知B′F=FB=4.由同角的余角相等可證明∠B′BE=∠BCF,從而可證明Rt△B′EB∽R(shí)t△OBC,由相似三角形的性質(zhì)可求得B′E=4,BE=8,故此可求得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(﹣3,﹣4),然后可判斷出點(diǎn)B′在拋物線上;

3)先根據(jù)題意畫出圖形,然后利用待定系數(shù)法求得B′C的解析式,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,+x+),則點(diǎn)D為(x,),由平行四邊形的判定定理可知當(dāng)PD=BC時(shí).四邊形PBCD是平行四邊形,最后根據(jù)PD=BC列出關(guān)于x的方程即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)

解:(1∵y=x2+bx+cx軸交于A﹣1,0),B5,0)兩點(diǎn),

解得:

拋物線的解析式為y=﹣+x+

2)如圖,過(guò)點(diǎn)B′B′E⊥x軸于EBB′OC交于點(diǎn)F

∵BC⊥x軸,

點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5

點(diǎn)C在直線y=﹣2x上,

∴C5,﹣10).

點(diǎn)BB′關(guān)于直線y=﹣2x對(duì)稱,

∴B′F=BF

Rt△ABC中,由勾股定理可知:OC===5

∵SOBC=OCBF=OBBC,

∴5×BF=5×10

∴BF=2

∴BB′=4

∵∠B′BE+∠B′BC=90°,∠BCF+∠B′BC=90°,

∴∠B′BE=∠BCF

∵∠B′EB=∠OBC=90°,

∴Rt△B′EB∽R(shí)t△OBC

,即

∴B′E=4,BE=8

∴OE=BE﹣OB=3

點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(﹣3,﹣4).

當(dāng)x=﹣3時(shí),y=﹣×﹣32+=﹣4

所以,點(diǎn)B′在該拋物線上.

3)存在.

理由:如圖所示:

設(shè)直線B′C的解析式為y=kx+b,則,解得:

直線B′C的解析式為y=

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x+x+),則點(diǎn)D為(x,).

∵PD∥BC,

要使四邊形PBCD是平行四邊形,只需PD=BC.又點(diǎn)D在點(diǎn)P的下方,

=10..

解得x1=2x2=5(不合題意,舍去).

當(dāng)x=2時(shí),=

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到(2,)時(shí),四邊形PBCD是平行四邊形.

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(1)求這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率;

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x

﹣2

﹣1

0

1

2

y

0

4

6

6

4

從上表可知,下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是( )

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