Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，O是坐標(biāo)原點，點A在x正半軸上，OA=cm，點B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點P從點O開始沿OA以cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動．如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s．

（1）求∠OAB的度數(shù)．

（2）以O(shè)B為直徑的⊙O‘與AB交于點M，當(dāng)t為何值時，PM與⊙O‘相切？

（3）求出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最小值及相應(yīng)的t值．

 

Answer 1

（1）30°；（2）3；（3）3．

【解析】

試題分析：（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的長，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度數(shù)；

（2）連接O′M，當(dāng)PM與⊙O′相切時，PM、PO同為⊙O′的切線，易證得△OO′P≌△MO′P，則∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等邊三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根據(jù)∠PO′O的度數(shù)及OO′的長即可求得OP的長，已知了P點的運動速度，即可根據(jù)時間=路程÷速度求得t的值；

（3）過Q作QE⊥x軸于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的長，進(jìn)而根據(jù)∠OAB的度數(shù)表示出QE、AE的長，由S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ即可求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可求出S的最小值及對應(yīng)的t的值．

試題解析：（1）在Rt△AOB中：

∴∠OAB=30°

（2）如圖，連接O‘P，O‘M．當(dāng)PM與⊙O‘相切時，

有∠PM O‘=∠PO O‘=90°，

△PMO‘≌△POO‘由（1）知∠OBA=60°

∵O‘M= O‘B ∴△O‘BM是等邊三角形

∴∠B O‘M=60°

可得∠O O‘P=∠M O‘P=60°

∴

OP=

又∵OP=t

∴t=，t=3

即：t=3時，PM與⊙O‘相切

（3）如圖，過點Q作QE⊥x于點E

∵∠BAO=30°，AQ=4t

∴QE=AQ=2t AE=

∴OE=OA-AE=-t

∴Q點的坐標(biāo)為（-t，2t）

S=S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ

=

= （）

∵S== （）

雙,拋物線開口向上

∴當(dāng)t=3時，S最小值=

考點：圓的綜合題．