Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD－DE－EB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．點(diǎn)P在AD上以cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，在折線DE－EB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點(diǎn)M落在線段AC上．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DP的長(zhǎng)為______cm,（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，求t的值．
（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，設(shè)五邊形的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（4）連結(jié)CD．當(dāng)點(diǎn)N于點(diǎn)D重合時(shí)，有一點(diǎn)H從點(diǎn)M出發(fā)，在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，直至點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)H停止往返運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H始終在線段MN的中心處．直接寫出在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)H落在線段CD上時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

（1）t－2（2）t=4或t=（3）（4）t=或t=5或
6≤t≤8。

解：（1）t－2。
（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，有兩種情況：

①如圖（2）a，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。
②如圖（2）b，此時(shí)點(diǎn)P位于線段EB上．
∵DE="1" 2 AC=4，∴點(diǎn)P在DE段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4s，
∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。
∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC�！郟N：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=。
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，t=4或t=。
（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)2＜t＜4時(shí)，如圖（3）a所示。
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。
∵M(jìn)N∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。
∴FM=AM=t．
∴
 。
②當(dāng)＜t＜8時(shí)，如圖（3）b所示。
PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM=AM=6-t，PG=2PB=16-2t，
∴
。
綜上所述，S與t的關(guān)系式為：。
（4）在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)H落在線段CD上時(shí)t的取值范圍是：t=或t=5或
6≤t≤8。
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，∴由勾股定理得AB=cm。
∵D為邊AB的中點(diǎn)，∴AD=cm。
又∵點(diǎn)P在AD上以cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s。
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在線段DP上的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t－2s。
又∵點(diǎn)P在DE上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，∴線段DP的長(zhǎng)為t－2 cm。
（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，有兩種情況，如圖（2）所示，利用運(yùn)動(dòng)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出時(shí)間t的值。
（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，有兩種情況，如圖（3）所示，分別用時(shí)間t表示各相關(guān)運(yùn)動(dòng)線段的長(zhǎng)度，然后利用求出面積S的表達(dá)式。
（4）本問(wèn)涉及雙點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，首先需要正確理解題意，然后弄清點(diǎn)H、點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程：
依題意，點(diǎn)H與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)階段，如下圖所示：

①當(dāng)4＜t＜6時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)，如圖（4）a所示。
此階段點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s，因此點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)距離為2.5×2=5cm，而MN=2，
則此階段中，點(diǎn)H將有兩次機(jī)會(huì)落在線段CD上：
第一次：此時(shí)點(diǎn)H由M→H運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（t－4）s，運(yùn)動(dòng)距離MH=2.5（t－4），
∴NH=2－MH=12－2.5t。
又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，
由DN=2NH得到：t－4=2（12－2.5t），解得t=。
第二次：此時(shí)點(diǎn)H由N→H運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t－4－=（t－4.8）s，運(yùn)動(dòng)距離NH=2.5（t－4.8）=2.5t－12，
又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，
由DN=2NH得到：t－4=2（2.5t－12），解得t=5。
②當(dāng)6≤t≤8時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)，如圖（4）b所示。
由圖可知，在此階段，始終有MH=MC，即MN與CD的交點(diǎn)始終為線段MN的中點(diǎn)，即點(diǎn)H。
綜上所述，在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)H落在線段CD上時(shí)t的取值范圍是：t=或t=5或6≤t≤8。