Question

如圖9, 已知拋物線與軸交于A (－4，0) 和B(1，0)兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，作EF//AC交BC于F，連接CE，當(dāng)△CEF的面積是△BEF面積的2倍時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作軸的平行線，交AC于Q，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）(,0) （3）（－2，－3）

【解析】解：（1）由二次函數(shù)與軸交于、兩點(diǎn)可得：

　　解得：　 

故所求二次函數(shù)的解析式為．      

（2）∵S_△CEF=2 S_△BEF, ∴       ∵EF//AC, ∴,

       ∴△BEF～△BAC,                         

∴得      

故E點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0). 

 

　　（3）解法一：由拋物線與軸的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，－2）．若設(shè)直線的解析式為，則有　解得：   故直線的解析式為．               

若設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)是過點(diǎn)所作軸的平行線與直線的交點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（．則有：  ＝

＝即當(dāng)時(shí)，線段取大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，－3）

解法二：延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則．要使線段最長(zhǎng)，則只須△的面積取大值時(shí)即可.                           

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（，則有: 

      ＝

　    ＝

             ＝   

＝

＝  ＝－

即時(shí)，△的面積取大值，此時(shí)線段最長(zhǎng)，則點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，－3）

（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；

（2）根據(jù)拋物線的解析式可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，易證得△ABC是直角三角形，則EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得BE、AB的比例關(guān)系，由此可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）PQ的長(zhǎng)實(shí)際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，用m表示出P、Q的縱坐標(biāo)，然后可得出PQ的長(zhǎng)與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ最大時(shí)，m的值，也就能求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．