（1）求證：817-279-913能被45整除；
（2）證明：當(dāng)n為自然數(shù)時，2（2n+1）形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差；
（3）計算：
(24+
1
4
)(44+
1
4
)(64+
1
4
)(84+
1
4
)(104+
1
4
)
(14+
1
4
)(34+
1
4
)(54+
1
4
)(74+
1
4
)(94+
1
4
)
．
分析：（1）首先將817-279-913代數(shù)式轉(zhuǎn)化成底數(shù)為3的冪，提取公因式326，此時出現(xiàn)差5，再將326分解成324與9的乘積，問題得解；
（2）直接證明較難，因而采用反證法．假設(shè)2（2n+1）能表示為兩個整數(shù)的平方差2（2n+1）=a2-b2．再分別就a+b、a-b是偶數(shù)
討論，與其已知相反；
（3）觀察
(24+
1
4
)(44+
1
4
)(64+
1
4
)(84+
1
4
)(104+
1
4
)
(14+
1
4
)(34+
1
4
)(54+
1
4
)(74+
1
4
)(94+
1
4
)
式子，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：均包含有x4+
1
4
的形式，因而對其進行因式分解得(x2-x+
1
2
)(x2+x+
1
2
)．將此規(guī)律運用到原式中，通過對分子、分母約分化簡，最后求出原式的值．
解答：解：（1）∵817-279-913=328-327-326=326（9-3-1）=45×324，
∴817-279-913能被45整除；

（2）反證法：假設(shè)2（2n+1）能表示為兩個整數(shù)的平方差即2（2n+1）=a2-b2=（a+b）（a-b），
因為2（2n+1）是偶數(shù)，則a+b、a-b定有一個是偶數(shù)，
若a+b是偶數(shù)，則a、b具有相同的奇偶性，則a-b也是偶數(shù)；
同樣的，若a-b偶，則a+b也偶，
則（a+b）（a-b）能被4整除也就是說2（2n+1）能被4整除，
即 2n+1能被2整除，但這是顯然不成立的，
故原假設(shè)不成立，
∴當(dāng)n為自然數(shù)時，2（2n+1）的形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差；

（3）∵x4+
1
4
=(x4+x2+
1
4
) -x2=(x2+
1
2
) 2-x2=(x2-x+
1
2
)(x2+x+
1
2
)
∴原式=
(4-2+
1
2
)(4+2+
1
2
)(42-4+
1
2
)(42+4+
1
2
)(62-6+
1
2
)(62+6+
1
2
)(82-8+
1
2
)(82+8+
1
2
)(102-10+
1
2
)(102+10+
1
2
)
1
2
×
5
2
(32-3+
1
2
)(32+3+
1
2
) (52-5+
1
2
)(52+5+
1
2
)(72-7+
1
2
)(72+7+
1
2
)(92-9+
1
2
)(92+9+
1
2
)
=2×（102+10+
1
2
）
=221．
點評：本題考查因式分解的應(yīng)用．解決（1）的關(guān)鍵是將原式通過因式分解轉(zhuǎn)化為9×5×3n的形式；（2）的關(guān)鍵是采用反證法；（3）的關(guān)鍵得到x4+
1
4
=(x2-x+
1
2
)(x2+x+
1
2
)這一規(guī)律，運用規(guī)律代入原式約分化簡求值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

24、求證：817-279-913能被45整除．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（1）求證：817-279-913能被45整除；
（2）證明：當(dāng)n為自然數(shù)時，2（2n+1）形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差；
（3）計算：數(shù)學(xué)公式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

求證：817-279-913能被45整除．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（1）求證：817-279-913能被45整除；
（2）證明：當(dāng)n為自然數(shù)時，2（2n+1）形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差；
（3）計算：
(24+
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)(44+
1
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)(64+
1
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)(84+
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)(104+
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(14+
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4
)(34+
1
4
)(54+
1
4
)(74+
1
4
)(94+
1
4
)
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