Question

在直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)A（-1，a）（a為常數(shù)）向右平移4個單位得到A′，經(jīng)過點(diǎn)A、A′的拋物線y=ax²+bx+c與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，m），且m＜3，若△ABP是等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A，A′和（0，2）代入解析式用待定系數(shù)法求解；
（2）根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，m），利用等腰三角形的兩邊相等作為等量關(guān)系列式子關(guān)于m的方程，要注意本題有三種情況，要分別列舉，當(dāng)AP=PB時(shí)；當(dāng)AP=AB時(shí)；當(dāng)PB=AB時(shí)，分別計(jì)算不要漏解．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
點(diǎn)A（-1，a）（a為常數(shù)）向右平移4個單位得到點(diǎn)A'（3，a），（1分）
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
∴c=2，（1分）
∵圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，a），A'（3，a），
∴

a-b+c=a 9a+3b+c=a

，（1分）
解得

a=-1 b=2

，（2分）
∴這條拋物線的解析式為y=-x²+2x+2；（1分）

（2）由y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3
得P（1，3），AP=2

5

，（1分）
∵△ABP是等腰三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，m），且m＜3，
（Ⅰ）當(dāng)AP=PB時(shí)，PB=2

5

，
即3-m=2

5

，（1分）
∴m=3-2

5

；（1分）
（Ⅱ）當(dāng)AP=AB時(shí)，（-1-1）²+（-1-3）²=（-1-1）²+（-1-m）²，
解得m=3，m=-5，（1分）m=3不合題意舍去，
∴m=-5；（1分）
（Ⅲ）當(dāng)PB=AB時(shí)，（1-1）²+（3-m）²=（-1-1）²+（-1-m）²，
解得m=

1

2

．（1分）
∴當(dāng)m=3-2

5

或-5或

1

2

時(shí)，△ABP是等腰三角形．B的坐標(biāo)是（1，3-2

5

）或（1，-5）或（1，

1

2

）．

點(diǎn)評：本題考查圖形的平移變換和待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和利用等腰三角形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)，此題是典型的數(shù)形結(jié)合綜合性習(xí)題．