Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE，∠ECB=45°．
（1）求證：AB=BE；
（2）延長(zhǎng)BE，交CD于F．若CE=，tan∠CDE=，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長(zhǎng)DE，交BC于G，通過證明△BEG≌△DCG（AAS），即可得出AB=BE；
（2）連接BD，可先證明BF⊥CD，求出△BCD的面積及CD的長(zhǎng)，繼而得出答案；或者利用△BEG∽△BFC，，將各邊代入求解．
解答：解：（1）證明：延長(zhǎng)DE，交BC于G．
∵DE⊥AD于D，∴∠ADE=90°
又AD∥BC，∴∠DGC=∠BGE=∠ADE=90°，（1分）
而∠ECB=45°，∴△EGC是等腰直角三角形，
∴EG=CG（2分）
在△BEG和△DCG中，
∴△BEG≌△DCG（AAS）（4分）
∴BE=CD=AB（5分）

（2）連接BD．
∵∠EBC=∠CDE，
∴∠EBC+∠BCD=∠CDE+∠BCD=90°，即∠BFC=90°
∵CE=，∴EG=CG（16分）
又tan∠CDE=，∴，∴DG=3（7分）
∵△BEG≌△DCG，∴BG=DG=3
∴
∴CD=BE=．（8分）
法一：∵，
∴（10分）
法二：經(jīng)探索得，△BEG∽△BFC，∴，∴
∴．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形、全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，有一定難度，注意這些知識(shí)的熟練掌握以便靈活運(yùn)用．