【題目】如圖1,直角梯形OABC中,BCOA,OA=6,BC=2,BAO=45°.

(1)OC的長(zhǎng)為   

(2)DOA上一點(diǎn),以BD為直徑作⊙M,MAB于點(diǎn)Q.當(dāng)⊙My軸相切時(shí),sinBOQ=   ;

(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,從點(diǎn)O沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng);同時(shí)動(dòng)點(diǎn)D以相同的速度,從點(diǎn)B沿折線B﹣C﹣O向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作直線PEOC,與折線O﹣B﹣A交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).求當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】(1)4;(2);(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2)、()、(4,2).

【解析】分析:1)過(guò)點(diǎn)BBHOAH如圖11),易證四邊形OCBH是矩形,從而有OC=BH,只需在△AHB中運(yùn)用三角函數(shù)求出BH即可.

2)過(guò)點(diǎn)BBHOAH,過(guò)點(diǎn)GGFOAF,過(guò)點(diǎn)BBROGR,連接MN、DG,如圖12),則有OH=2,BH=4,MNOC.設(shè)圓的半徑為r,MN=MB=MD=r.在RtBHD中運(yùn)用勾股定理可求出r=2,從而得到點(diǎn)D與點(diǎn)H重合.易證△AFG∽△ADB,從而可求出AFGF、OF、OG、OBAB、BG.設(shè)OR=x利用BR2=OB2OR2=BG2RG2可求出x,進(jìn)而可求出BR.在RtORB中運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問(wèn)題.

3)由于△BDE的直角不確定故需分情況討論,可分三種情況(①∠BDE=90°,②∠BED=90°,③∠DBE=90°)討論,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識(shí)建立關(guān)于t的方程就可解決問(wèn)題.

詳解:(1)過(guò)點(diǎn)BBHOAH如圖11),則有∠BHA=90°=COAOCBH

BCOA,∴四邊形OCBH是矩形OC=BH,BC=OH

OA=6,BC=2,AH=0AOH=OABC=62=4

∵∠BHA=90°,BAO=45°,

tanBAH==1BH=HA=4,OC=BH=4

故答案為:4

2)過(guò)點(diǎn)BBHOAH,過(guò)點(diǎn)GGFOAF,過(guò)點(diǎn)BBROGR,連接MN、DG,如圖12).

由(1)得OH=2,BH=4

OC與⊙M相切于NMNOC

設(shè)圓的半徑為r,MN=MB=MD=r

BCOC,OAOC,BCMNOA

BM=DM,CN=ONMN=BC+OD),OD=2r2DH==

RtBHD中,∵∠BHD=90°,BD2=BH2+DH2,2r2=42+2r42

解得r=2,DH=0,即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合,BD0A,BD=AD

BD是⊙M的直徑,∴∠BGD=90°,DGABBG=AG

GFOA,BDOAGFBD,∴△AFG∽△ADB,

===AF=AD=2,GF=BD=2OF=4,

OG===2

同理可得OB=2AB=4,BG=AB=2

設(shè)OR=xRG=2x

BROG,∴∠BRO=BRG=90°,BR2=OB2OR2=BG2RG2,

22x2=(22﹣(2x2

解得x=,BR2=OB2OR2=(22﹣(2=,BR=

RtORBsinBOR===

故答案為:

3①當(dāng)∠BDE=90°時(shí),點(diǎn)D在直線PE,如圖2

此時(shí)DP=OC=4BD+OP=BD+CD=BC=2,BD=t,OP=t 則有2t=2

解得t=1.則OP=CD=DB=1

DEOC,∴△BDE∽△BCO==,DE=2,EP=2

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2).

②當(dāng)∠BED=90°時(shí)如圖3

∵∠DBE=OBC,DEB=BCO=90°,∴△DBE∽△OBC,

==BE=t

PEOC,∴∠OEP=BOC

∵∠OPE=BCO=90°,∴△OPE∽△BCO

==,OE=t

OE+BE=OB=2t+t=2

解得t=OP=,OE=PE==,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為().

③當(dāng)∠DBE=90°時(shí)如圖4

此時(shí)PE=PA=6t,OD=OC+BCt=6t

則有OD=PEEA==6t)=6t,

BE=BAEA=4﹣(6t)=t2

PEOD,OD=PE,DOP=90°,∴四邊形ODEP是矩形,

DE=OP=t,DEOP,∴∠BED=BAO=45°.

RtDBEcosBED==,DE=BE,

t=t2)=2t4

解得t=4,OP=4PE=64=2,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,2).

綜上所述當(dāng)以B、DE為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2)、()、(42).

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