【題目】如圖1,直角梯形OABC中,BC∥OA,OA=6,BC=2,∠BAO=45°.
(1)OC的長(zhǎng)為 ;
(2)D是OA上一點(diǎn),以BD為直徑作⊙M,⊙M交AB于點(diǎn)Q.當(dāng)⊙M與y軸相切時(shí),sin∠BOQ= ;
(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,從點(diǎn)O沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng);同時(shí)動(dòng)點(diǎn)D以相同的速度,從點(diǎn)B沿折線B﹣C﹣O向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作直線PE∥OC,與折線O﹣B﹣A交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).求當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).
【答案】(1)4;(2);(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2)、(,)、(4,2).
【解析】分析:(1)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA于H,如圖1(1),易證四邊形OCBH是矩形,從而有OC=BH,只需在△AHB中運(yùn)用三角函數(shù)求出BH即可.
(2)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA于H,過(guò)點(diǎn)G作GF⊥OA于F,過(guò)點(diǎn)B作BR⊥OG于R,連接MN、DG,如圖1(2),則有OH=2,BH=4,MN⊥OC.設(shè)圓的半徑為r,則MN=MB=MD=r.在Rt△BHD中運(yùn)用勾股定理可求出r=2,從而得到點(diǎn)D與點(diǎn)H重合.易證△AFG∽△ADB,從而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG.設(shè)OR=x,利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x,進(jìn)而可求出BR.在Rt△ORB中運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問(wèn)題.
(3)由于△BDE的直角不確定,故需分情況討論,可分三種情況(①∠BDE=90°,②∠BED=90°,③∠DBE=90°)討論,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識(shí)建立關(guān)于t的方程就可解決問(wèn)題.
詳解:(1)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA于H,如圖1(1),則有∠BHA=90°=∠COA,∴OC∥BH.
∵BC∥OA,∴四邊形OCBH是矩形,∴OC=BH,BC=OH.
∵OA=6,BC=2,∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4.
∵∠BHA=90°,∠BAO=45°,
∴tan∠BAH==1,∴BH=HA=4,∴OC=BH=4.
故答案為:4.
(2)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA于H,過(guò)點(diǎn)G作GF⊥OA于F,過(guò)點(diǎn)B作BR⊥OG于R,連接MN、DG,如圖1(2).
由(1)得:OH=2,BH=4.
∵OC與⊙M相切于N,∴MN⊥OC.
設(shè)圓的半徑為r,則MN=MB=MD=r.
∵BC⊥OC,OA⊥OC,∴BC∥MN∥OA.
∵BM=DM,∴CN=ON,∴MN=(BC+OD),∴OD=2r﹣2,∴DH==.
在Rt△BHD中,∵∠BHD=90°,∴BD2=BH2+DH2,∴(2r)2=42+(2r﹣4)2.
解得:r=2,∴DH=0,即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合,∴BD⊥0A,BD=AD.
∵BD是⊙M的直徑,∴∠BGD=90°,即DG⊥AB,∴BG=AG.
∵GF⊥OA,BD⊥OA,∴GF∥BD,∴△AFG∽△ADB,
∴===,∴AF=AD=2,GF=BD=2,∴OF=4,
∴OG===2.
同理可得:OB=2,AB=4,∴BG=AB=2.
設(shè)OR=x,則RG=2﹣x.
∵BR⊥OG,∴∠BRO=∠BRG=90°,∴BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2,
∴(2)2﹣x2=(2)2﹣(2﹣x)2.
解得:x=,∴BR2=OB2﹣OR2=(2)2﹣()2=,∴BR=.
在Rt△ORB中,sin∠BOR===.
故答案為:.
(3)①當(dāng)∠BDE=90°時(shí),點(diǎn)D在直線PE上,如圖2.
此時(shí)DP=OC=4,BD+OP=BD+CD=BC=2,BD=t,OP=t. 則有2t=2.
解得:t=1.則OP=CD=DB=1.
∵DE∥OC,∴△BDE∽△BCO,∴==,∴DE=2,∴EP=2,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2).
②當(dāng)∠BED=90°時(shí),如圖3.
∵∠DBE=OBC,∠DEB=∠BCO=90°,∴△DBE∽△OBC,
∴==,∴BE=t.
∵PE∥OC,∴∠OEP=∠BOC.
∵∠OPE=∠BCO=90°,∴△OPE∽△BCO,
∴==,∴OE=t.
∵OE+BE=OB=2t+t=2.
解得:t=,∴OP=,OE=,∴PE==,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為().
③當(dāng)∠DBE=90°時(shí),如圖4.
此時(shí)PE=PA=6﹣t,OD=OC+BC﹣t=6﹣t.
則有OD=PE,EA==(6﹣t)=6﹣t,
∴BE=BA﹣EA=4﹣(6﹣t)=t﹣2.
∵PE∥OD,OD=PE,∠DOP=90°,∴四邊形ODEP是矩形,
∴DE=OP=t,DE∥OP,∴∠BED=∠BAO=45°.
在Rt△DBE中,cos∠BED==,∴DE=BE,
∴t=t﹣2)=2t﹣4.
解得:t=4,∴OP=4,PE=6﹣4=2,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,2).
綜上所述:當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2)、()、(4,2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到,
(1)則DE與BC的位置關(guān)系是_________,數(shù)量關(guān)系是_________;
(2)若,則_________;
(3)若,,的周長(zhǎng)為偶數(shù),則AE的長(zhǎng)為_________;
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【題目】下列圖案由邊長(zhǎng)相等的黑白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成,觀察圖案回答問(wèn)題:
第個(gè)圖案中白色正方形的個(gè)數(shù)為 .
第個(gè)圖案中白色正方形的個(gè)數(shù)為 .
第個(gè)圖案中白色正方形的個(gè)數(shù)有多少個(gè)?
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【題目】如圖,大樓AB的高為16m,遠(yuǎn)處有一塔CD,小李在樓底A處測(cè)得塔頂D處的仰角為 60°,在樓頂B處測(cè)得塔頂D處的仰角為45°,其中A、C兩點(diǎn)分別位于B、D兩點(diǎn)正下方,且A、C兩點(diǎn)在同一水平線上,求塔CD的高.(=1.73,結(jié)果保留一位小數(shù).)
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【題目】在五一期間,小明、小亮等同學(xué)隨家長(zhǎng)一同到某公園游玩,下面是購(gòu)買門票時(shí),小明與他爸爸的對(duì)話(如圖),試根據(jù)圖中的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)小明他們一共去了幾個(gè)成人,幾個(gè)學(xué)生?
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【題目】某糧庫(kù)3天內(nèi)的糧食進(jìn)出庫(kù)的噸數(shù)為:+26,-32,-15,+34,-38,-20.問(wèn):
(1)經(jīng)過(guò)這3天,庫(kù)里的糧食是增多了多少?還是減少了多少?
(2)經(jīng)過(guò)這3天,倉(cāng)庫(kù)管理員發(fā)現(xiàn)庫(kù)里還存有520噸糧食,那么3天前庫(kù)里存糧多少噸?
(3)如果進(jìn)出的裝卸費(fèi)都是每噸5元,那么這3天需要多少裝卸費(fèi)?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°, ∠B=30°,BC=+1,點(diǎn)E、F分別是BC、AC邊上的動(dòng)點(diǎn),沿EF所在直線折疊∠C,使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′始終落在邊AB上,若△BEC′是直角三角形時(shí),則BC′的長(zhǎng)為_____________.
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【題目】定義:如果10b=n,那么稱b為n的勞格數(shù),記為b=d(n).
(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義,可知:d(10)=1,d(102)=2,那么:d(103)= .
(2)勞格數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì):若m,n為正數(shù),則d(mn)=d(m)+d(n); d()=d(m)﹣d(n).若d(3)=0.48,d(2)=0.3,根據(jù)運(yùn)算性質(zhì),填空:d(6)= ,則d()= ,d()= .
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【題目】如圖,在中,,D在邊AC上,且.
如圖1,填空______,______
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求證:是等腰三角形;
試寫(xiě)出線段AN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
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