Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上．已知OA=4OB，AC=2BC=2

5

．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為C′，試問在AB的垂直平分線上是否存在一點(diǎn)G，使得△GBC′的周長最小？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)和最小周長；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)點(diǎn)P是直線BC上異于點(diǎn)B、點(diǎn)C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交直線AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QM垂直于x軸于點(diǎn)M，再過點(diǎn)P作PN垂直于x軸于點(diǎn)N，得到矩形PQMN．則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形PQMN為正方形時(shí)，求該正方形的邊長．

Answer 1

分析：（1）設(shè)OB=k（k＞0），則OA=4k，AB=5k，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出k的值，故可得出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接AC′，由幾何知識知AC′與AB的垂直平分線l的交點(diǎn)即為△GBC′的周長最小時(shí)的點(diǎn)G．連接GB，BC′，根據(jù)點(diǎn)C′與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，且C（0，-2），可求出C′（0，2），利用待定系數(shù)法求出直線AC′的解析式故可求出G點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）由圖易知點(diǎn)P不可能在直線BC的點(diǎn)B右上方．當(dāng)點(diǎn)P在線段BC之間時(shí)（如圖2），設(shè)正方形PQMN的邊長為t，求出直線AC的解析式，由正方形的性質(zhì)可求出P、Q、M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，故可得出MN的長；同理當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的左下方時(shí)可求出MN的長．

解答：解：（1）設(shè)OB=k（k＞0），則OA=4k，AB=5k，
∵AC=2BC=2

5

，∠ACB=90°，
∴（2

5

）²+（

5

）²=（5k）²，
 解得：k=1，
∴OB=1，OA=4，
∴A（-4，0），B（1，0），
∵OC=

CB2+OB2

=2，
∴C（0，-2）；

（2）如圖1，連接AC′，由幾何知識知AC′與AB的垂直平分線l的交點(diǎn)即為△GBC′的周長最小時(shí)的點(diǎn)G．
連接GB，BC′，
∵點(diǎn)C′與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，且C（0，-2），
∴C′（0，2），
∵A（-4，0），B（1，0），
∴直線AC′的解析式為：y=

1

2

x+2，
直線l的解析式為：x=-

3

2

，
∴點(diǎn)G（-

3

2

，

5

4

），
∵BC′=

12+22

=

5

，AC′=

42+22

=2

5

∴△GBC′的最小周長為：
GB+GC′+BC′=AC′+BC′=3

5

；

（3）由圖易知點(diǎn)P不可能在直線BC的點(diǎn)B右上方．
當(dāng)點(diǎn)P在線段BC之間時(shí)（如圖2），
設(shè)正方形PQMN的邊長為t．
∵A（-4，0），B（1，0），C（0，-2）
∴直線AC的解析式為：y=-

1

2

x-2，
直線BC的解析式為：y=2x-2，
∴點(diǎn)P（

2-t

2

，-t），點(diǎn)Q（2t-4，-t），
∴點(diǎn)N（

2-t

2

，0），點(diǎn)M（2t-4，0），
∴MN=-2t+4+

2-t

2

=t，解得t=

10

7

，
當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的左下方時(shí)，同理可得點(diǎn)N（

2-t

2

，0），點(diǎn)M（2t-4，0），此時(shí)
MN=2t-4-

2-t

2

=t，解得t=

10

3

．
綜上所述，正方形PQMN的邊長為

10

7

或

10

3

．

點(diǎn)評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到勾股定理、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及正方形的性質(zhì)等知識，難度較大．