Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=6cm，BC=8cm．有一動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，在射線BC方向移動(dòng)，速度是2cm/s，在P點(diǎn)出發(fā)后2秒后另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，在射線AC方向移動(dòng)，速度是1cm/s．若設(shè)P出發(fā)后時(shí)間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式分別表示線段AQ、PC的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍．
（2）連結(jié)AP、PQ，求使△APQ面積為3cm²時(shí)相應(yīng)的t的值．
（3）問(wèn)是否存在這樣的時(shí)間t，使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角？如果存在，請(qǐng)求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用,角平分線的性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）PC的長(zhǎng)度分兩種情況討論：0≤t≤4，t＞4；AQ的長(zhǎng)度分兩種情況討論：0≤t≤2，t＞2；
（2）分兩種情況討論：①2＜t≤4，②t＞4；根據(jù)△APQ面積為3cm²，列出方程即可求解；
（3）①過(guò)P點(diǎn)作PD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理可求AB的長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知PC=PD，在Rt△PBC中，可求BP的長(zhǎng)，可求t的一個(gè)解；
②根據(jù)一個(gè)角的內(nèi)角平分線和外角平分線互相垂直，可求t的另外一個(gè)解．

解答：解：（1）PC=

8-2t(0≤t≤4) 2t-8(t＞4)

，
AQ=

0(0≤t≤2) t-2(t＞2)

；

（2）①當(dāng)2＜t≤4時(shí)，

1

2

（8-2t）（t-2）=3，化簡(jiǎn)為t²-6t+11=0，△=36-44=-8＜0，故方程無(wú)解；
②當(dāng)t＞4時(shí)，

1

2

（8-2t）（t-2）=3，化簡(jiǎn)為t²-6t+5=0，解得t₁=1（不合題意舍去），t₂=5．
故使△APQ面積為3cm²時(shí)相應(yīng)的t的值為5．

（3）①過(guò)P點(diǎn)作PD⊥AB于D．
在Rt△ABC中，AB=

62+82

=10，
∵AP平分∠BAC，
∴PC=PD，AC=AD，
∴BD=10-6=4，
在Rt△PBC中，BP²=4²+（8-BP）²，解得BP=5，
則t=5÷2=2.5s，
②∵一個(gè)角的內(nèi)角平分線和外角平分線互相垂直，
∴3：6=6：（2t-8），
解得t=10．
故使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角時(shí)t的值為2.5或10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．