Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙M的圓心在y軸的正半軸上，AB與⊙M相切于A(yíng)，BC與⊙M相切于點(diǎn)D，圓M與x軸相切于點(diǎn)O，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，12）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)軸；
（3）求圓M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上切得的弦EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)B作BH⊥OC于H，設(shè)OC=x，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可求出BC的長(zhǎng)，在直角三角形BHC中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入解方程組即可得到拋物線(xiàn)的解析式，利用公式法即可求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；
（3）過(guò)M作MN⊥EF于N，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸可得MN的長(zhǎng)，又因?yàn)閳A的半徑已知，所以利用勾股定理可求出NF的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理即可求出EF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）過(guò)B作BH⊥OC于H，設(shè)OC=x，
∵AB與⊙M相切于A(yíng)，BC與⊙M相切于點(diǎn)D，圓M與x軸相切于點(diǎn)O，
∴AB=BD，OC=DC，
∵知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，12），
∴OH=AB=4，AO=BH=12，
∴CH=OC-OH=x-4，BC=BD+CD=x+4，
在Rt△BHC中，BH²+CH²=BC²，
∴12²+（x-4）²=（x+4）²，
解得：x=9，
∴OC=9，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)是（9，0）；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（0，12），B（4，12），C（9，0）
∴

12=c 12=16a+4b+c 0=81a+9b+c

，
解得：

a=- 4 15 b= 16 15 c=12

，
∴y=-

4

15

x²+

16

15

x+12，
∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-

16 15

-2× 4 15

=2；
（3）過(guò)M作MN⊥EF于N，
∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2，
∴MN=2，
∵M(jìn)F=6，
∴NF=

62-22

=4

2

，
∴EF=2NF=8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理的運(yùn)用、垂徑定理的運(yùn)用以及解一元二次方程等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．