Question

如圖，⊙O的半徑OC為6cm，弦AB垂直平分OC，則AB=

6

3

cm，∠AOB=

120°

．

Answer 1

分析：由AB垂直于OC，根據(jù)垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，可得AB=2AD=2BD，再由AB平分OC，可得OD=CD，由半徑OC的長求出POD的長，在直角三角形AOD中，由半徑OA及OD的長，利用勾股定理求出AD的長，可得出AB的長；由OA=OB，OD垂直于AB，根據(jù)三線合一得到OD為角平分線，可得出∠AOB=2∠AOD，而在直角三角形AOD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出sin∠AOD的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠AOD的度數(shù)，可得出∠AOB的度數(shù)．

解答：解：設(shè)OC與AB的交點(diǎn)為D，如圖所示：

∵半徑OC⊥AB，
∴點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，即AD=BD=

1

2

AB，
又∵弦AB垂直平分OC，且OC=6cm，
∴OD=CD=

1

2

OC=3cm，
在Rt△AOD中，OA=OC=6cm，OD=3cm，
根據(jù)勾股定理得：AD=

OA2-OD2

=3

3

cm，
則AB=2AD=6

3

cm，
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴OC為∠AOB的平分線，即∠AOC=∠BOC=

1

2

∠AOB，
在Rt△AOD中，sin∠AOC=

AD

OA

=

3 3

6

=

3

2

，
∴∠AOC=60°，
則∠AOB=2∠AOC=120°．
故答案為：6

3

；120°

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，以及銳角三角函數(shù)定義，垂徑定理的內(nèi)容為：垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對(duì)的弧，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．