Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸的交點(diǎn)為A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP、DP，過點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；

（2）當(dāng)CP+DP的值最小時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M，連接MN、MB，是否存在點(diǎn)M使得△MNB為直角三角形；若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)E（0，2）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為 或（1，﹣4）．

【解析】

（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）如圖，過點(diǎn)C作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H（3，﹣4），連接HD交x軸于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)E，CP+DP＝PH+PD＝DH為最小，即可求解；

（3）分∠BNM為直角、∠NMB為直角兩種情況，分別求解即可．

（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，，解得，

故拋物線函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如圖，過點(diǎn)C作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H（3，﹣4），連接HD交x軸于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)E，

則CP+DP＝PH+PD＝DH為最小，

設(shè)直線DH的表達(dá)式為：y＝kx+t，則，解得，

故直線DH的表達(dá)式為：y＝﹣2x+2，

令x＝0，則y＝2，

故點(diǎn)E（0，2）；

（3）從圖上可以看出，∠NBM≠90°；

①當(dāng)∠BNM為直角時(shí)，

∵OB＝OC，

∴∠ONB＝45°，

則NM與y軸負(fù)半軸的夾角為45°，

而點(diǎn)N（0，﹣3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為K，則其坐標(biāo)為（1，﹣4），

從N、K的坐標(biāo)看，NK與y軸負(fù)半軸的夾角為45°，

故點(diǎn)K與點(diǎn)M重合，故點(diǎn)M（1，﹣4）；

②當(dāng)∠NMB為直角時(shí)，

∵∠NOB＝90°，

∴O、B、M、N四點(diǎn)共圓，

設(shè)該圓的圓心為R，R是NB的中點(diǎn)，故R的坐標(biāo)為（，﹣），

設(shè)圓的半徑為r，則r＝NB＝；

設(shè)點(diǎn)M（x，y），y＝x2﹣2x﹣3，

則RM＝r，即（x﹣）2+（y+）2＝（）2，

整理得：（x﹣3）+y（x﹣2）＝0，

即（x﹣3）[1+（1+x）（x﹣2）]＝0，

解得：x＝或（舍去）或3（舍去），

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）；

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）或（1，﹣4）．