如圖,在平面直角坐標系中,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點A在DE上,以A為頂點的拋物線過點C,且對稱軸x=1交x軸于點B.連接EC,AC.點P,Q為動點,設運動時間為t秒.
(1)填空:點A坐標為 ;拋物線的解析式為 .
(2)在圖1中,若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動,同時,點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動,當一個點到達終點時,另一個點隨之停止運動.當t為何值時,△PCQ為直角三角形?
(3)在圖2中,若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動,過點P做PF⊥AB,交AC于點F,過點F作FG⊥AD于點G,交拋物線于點Q,連接AQ,CQ.當t為何值時,△ACQ的面積最大?最大值是多少?
解:(1)∵拋物線的對稱軸為x=1,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點A在DE上,
∴點A坐標為(1,4),
設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+4,
把C(3,0)代入拋物線的解析式,可得a(3﹣1)2+4=0,
解得a=﹣1.
故拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;
(2)依題意有:OC=3,OE=4,
∴CE===5,
當∠QPC=90°時,
∵cos∠QPC==,
∴=,
解得t=;
當∠PQC=90°時,
∵cos∠QCP==,
∴=,
解得t=.
∴當t=或t=時,△PCQ為直角三角形;
(3)∵A(1,4),C(3,0),
設直線AC的解析式為y=kx+b,則
,
解得.
故直線AC的解析式為y=﹣2x+6.
∵P(1,4﹣t),將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得x=1+,
∴Q點的橫坐標為1+,
將x=1+代入y=﹣(x﹣1)2+4中,得y=4﹣.
∴Q點的縱坐標為4﹣,
∴QF=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣,
∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ
=FQ•AG+FQ•DG
=FQ(AG+DG)
=FQ•AD
=×2(t﹣)
=﹣(t﹣2)2+1,
∴當t=2時,△ACQ的面積最大,最大值是1.
故答案為:(1,4),y=﹣(x﹣1)2+4.
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某籃球隊12名隊員的年齡如下表所示:
年齡(歲) | 18 | 19 | 20 | 21 |
人數(shù) | 5 | 4 | 1 | 2 |
則這12名隊員年齡的眾數(shù)和平均數(shù)分別是
A.18,19 B.19,19 C.18, D.19,
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
小方與同學一起去郊游,看到一棵大樹斜靠在一小土坡上,他想知道樹有多長,于是他借來測角儀和卷尺.如圖,他在點C處測得樹AB頂端A的仰角為30°,沿著CB方向向大樹行進10米到達點D,測得樹AB頂端A的仰角為45°,又測得樹AB傾斜角∠1=75°.
(1)(5分)求AD的長. (2)(4分)求樹長AB.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,BD與CE交于點O,給出下列三個條件:①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC.
(1)上述三個條件中,由哪兩個條件可以判定△ABC是等腰三角形?(用序號寫出所有成立的情形)
(2)請選擇(1)中的一種情形,寫出證明過程.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
⊙O1和⊙O2的直徑分別是6cm和8cm,若圓心距O1O2=2cm,則兩圓的位置關系是( )
| A. | 外離 | B. | 外切 | C. | 相交 | D. | 內切 |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分別是其角平分線和中線,過點C作CG⊥AD于F,交AB于G,連接EF,則線段EF的長為( )
| A. |
| B. | 1 | C. |
| D. | 7 |
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