Question

【題目】如圖，拋物線的圖象過點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAC的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAC的周長；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M（不與C點(diǎn)重合），使得？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)，周長為：；（3）存在，點(diǎn)M坐標(biāo)為

【解析】

（1）由于條件給出拋物線與x軸的交點(diǎn)，故可設(shè)交點(diǎn)式，把點(diǎn)C代入即求得a的值，減小計(jì)算量．

（2）由于點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸：直線對稱，故有，則，所以當(dāng)C、P、B在同一直線上時(shí)，最�。�利用點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求AC、CB的長，求直線BC解析式，把代入即求得點(diǎn)P縱坐標(biāo)．

（3）由可得，當(dāng)兩三角形以PA為底時(shí)，高相等，即點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA距離相等．又因?yàn)?/span>M在x軸上方，故有．由點(diǎn)A、P坐標(biāo)求直線AP解析式，即得到直線CM解析式．把直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點(diǎn)M坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)

∴可設(shè)交點(diǎn)式

把點(diǎn)代入得：

∴拋物線解析式為

（2）在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長最�。�

如圖1，連接PB、BC

∵點(diǎn)P在拋物線對稱軸直線上，點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸對稱

∵當(dāng)C、P、B在同一直線上時(shí)，最小

最小

設(shè)直線BC解析式為

把點(diǎn)B代入得：，解得：

∴直線BC：

∴點(diǎn)使的周長最小，最小值為．

（3）存在滿足條件的點(diǎn)M，使得．

∵S△PAM＝S△PAC

∴當(dāng)以PA為底時(shí)，兩三角形等高

∴點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA距離相等

∵M在x軸上方

，設(shè)直線AP解析式為

解得：

∴直線

∴直線CM解析式為：

解得：（即點(diǎn)C），

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為