【題目】如圖,拋物線的圖象過點.

1)求拋物線的解析式;

2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得△PAC的周長最小,若存在,請求出點P的坐標及△PAC的周長;若不存在,請說明理由;

3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在點M(不與C點重合),使得?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2)存在,點,周長為:;(3)存在,點M坐標為

【解析】

1)由于條件給出拋物線與x軸的交點,故可設(shè)交點式,把點C代入即求得a的值,減小計算量.

2)由于點A、B關(guān)于對稱軸:直線對稱,故有,則,所以當C、P、B在同一直線上時,最。命cA、B、C的坐標求ACCB的長,求直線BC解析式,把代入即求得點P縱坐標.

3)由可得,當兩三角形以PA為底時,高相等,即點C和點M到直線PA距離相等.又因為Mx軸上方,故有.由點A、P坐標求直線AP解析式,即得到直線CM解析式.把直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點M坐標.

解:(1)∵拋物線與x軸交于點

∴可設(shè)交點式

把點代入得:

∴拋物線解析式為

2)在拋物線的對稱軸上存在一點P,使得的周長最。

如圖1,連接PB、BC

∵點P在拋物線對稱軸直線上,點A、B關(guān)于對稱軸對稱

∵當C、P、B在同一直線上時,最小

最小

設(shè)直線BC解析式為

把點B代入得:,解得:

∴直線BC

∴點使的周長最小,最小值為

3)存在滿足條件的點M,使得

SPAMSPAC

∴當以PA為底時,兩三角形等高

∴點C和點M到直線PA距離相等

Mx軸上方

,設(shè)直線AP解析式為

解得:

∴直線

∴直線CM解析式為:

解得:(即點C),

∴點M坐標為

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