Question

【題目】 如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（6，），AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，連接BC．點D是線段AC的中點，點E的坐標為（0，），點F是線段EO上的一個動點．過點A，D，F的拋物線與x軸正半軸交于點G，連接DG交線段AB于點M．

(1)求∠ACB的度數(shù)；

(2)當點F運動到原點時，求過A，D，F三點的拋物線的函數(shù)表達式及點G的坐標；

(3)以線段DM為一邊作等邊三角形DMP，點P與點A在直線DG同側(cè)，當點F從點E運動到點O時，請直接寫出點P運動的路徑的長．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）先確定出AB，AC，再判斷出∠BAC＝90°，最后用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論；

（2）先確定出點C的坐標，進而確定出點D的坐標，最后用待定系數(shù)法，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出點F從點E運動到點O時，點M的運動軌跡是MM'，進而判斷出點P的運動軌跡，再判斷出△MDM'≌△PDP'，求出直線BG的解析式，進而求出點M的坐標，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵點A的坐標為，AB⊥x軸于點B，

∴B（6，0），

∴AB＝，

∵點A的坐標為，AC⊥y軸于點C，

∴C（0，），

∴AC＝6，

∵AB⊥x軸，AC⊥y軸，

∴∠ABO＝∠ACO＝90°＝∠BOC，

∴四邊形OBAC是矩形，

∴∠BAC＝90°，

在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，

∴∠ACB＝60°；

（2）由（1）知，C（0，），

∵點D是AC的中點，

∴D（3，），

設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，

將點A（6，），D（3，），O（0，0）代入拋物線解析式中，得，

∴，

∴拋物線的解析式為，

令y＝0，則，

∴x＝0或x＝9，

∴G（9，0）；

（3）如圖，

當點F從點E運動到點O時，點M的運動軌跡是線段MM'，

∴以DM為邊的等邊三角形的頂點P的軌跡是線段PP'，

當拋物線過原點時，DG與AB的交點記作點M，當拋物線過點E時，DG'與AB的交點為M'，

∵△DMP是等邊三角形，

∴DM＝DP，∠MDP＝60°，

∵△DM'P'是等邊三角形

∴DM'＝DP'，∠M'DP'＝60°，

∴∠MDM'＝∠PDP'，

∴△MDM'≌△PDP'（SAS），

∴PP'＝MM'，

由（2）知，G（9，0），

∵D（3，），

∴直線DG的解析式，

令x＝6，則y＝，

∴M，

當拋物線過點E時，即拋物線過點A，D，E，

設(shè)拋物線的解析式為，

∴，

∴，

∴過點A，D，E的拋物線的解析式為，

令y＝0，則，

∴x＝﹣3或x＝12，

∴G'（12，0），

∴DG'的解析式為，

令x＝6，則y＝，

∴M'（6，），

∴PP'＝MM'＝，

即點P運動的路徑的長為．