Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A從原點開始在x軸的正半軸上運動時，點C在y軸正半軸上運動．
（1）當(dāng)A在原點時，求點B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)OA=OC時，求原點O到點B的距離OB；
（3）在運動的過程中，求原點O到點B的距離OB的最大值，并說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)點A在原點時，如圖1，AC在y軸上，BC⊥y軸，
所以點B的坐標(biāo)是（2，2）．

（2）當(dāng)OA=OC時，如圖2，

△OAC是等腰直角三角形，AC=2，
所以∠OAC=∠OCA=45°，，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，
∴AB===2，∠CAB=45°，
∴∠OAB=∠CAB+∠OAC=45°+45°=90°，
∴．

（3）如圖3，
取AC的中點E，連接OE，BE．
在Rt△AOC中，OE是斜邊AC上的中線，
所以，
在△ACB中，BC=2，，
所以；
若點O，E，B不在一條直線上，則．
若點O，E，B在一條直線上，則，
所以當(dāng)O，E，B三點在一條直線上時，OB取得最大值，最大值為．
分析：（1）根據(jù)A在原點時，AC在y軸上，BC⊥y軸，即可求出點B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)OA=OC得出△OAC是等腰直角三角形，再根據(jù)AC=2，得出，再過點B作BD⊥y軸，得出∠BCD的度數(shù)，從而得出CD和OD的值，即可求出答案；
（3）先取AC的中點E，連接OE，BE，在Rt△AOC中，OE是斜邊AC上的中線，得出OE的值，再在△ACB中得出BE的值；再分兩種情況討論；當(dāng)點O，E，B不在一條直線上和O，E，B三點在一條直線上時，求出OB的值，得出最大值即可．
點評：此題考查了解等腰直角三角形；解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和特點進(jìn)行解答，特別是第（3）要分兩種情況討論，不要漏掉．