Question

如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB，ED，BD，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，DF²=EF•BF．
（1）求證：DE平分∠ADB；
（2）求tan∠BEC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件可得△FED∽△FDB，可證得∠FDE=∠FBD，又由正方形的對(duì)稱性可得BE=DE，可得∠EBD=∠EDB，可得出結(jié)論；
（2）設(shè)對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，在Rt△EBO中可表示出tan∠BEC，再利用角平分線的性質(zhì)得到AE和EO的比例關(guān)系，從而求出EO和BO的比，得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵DF²=EF．BF，
∴DF：BF=EF：DF，∠EFD=∠BFD，
∴△FED∽△FDB，
∴∠FDE=∠FBD，
又∵E在對(duì)角線AC上，由正方形的對(duì)稱性可得EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∴∠FDE=∠EDB，
∴DE平分∠ADB；
（2）解：設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，
∵DE平分∠ADB，
∴

EO

AE

=

OD

AD

=

1

2

，
∴

EO

AE+EO

=

1

1+ 2

=

2

-1，
即

EO

AO

=

2

-1，
在Rt△BOE中，tan∠BEC=

EO

BO

=

EO

AO

=

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，在（1）中注意正方形對(duì)稱性的運(yùn)用，在（2）中利用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．