【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(A在B的左側(cè)),其中點B(3,0),與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)將拋物線向下平移h個單位長度,使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內(nèi)(包括△OBC的邊界),求h的取值范圍;

(3)設(shè)點P是拋物線上且在x軸上方的任一點,點Q在直線l:x=﹣3上,△PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形?若能,求出符合條件的點P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3(2)2≤h≤4(3)(1,4)或(0,3)

【解析】

(1)拋物線的對稱軸x=1、B(3,0)、AB的左側(cè),根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可知A(-1,0);

根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c過點C(0,3),可知c的值.結(jié)合A、B兩點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出a、b的值,可得拋物線L的表達式;

(2)由C、B兩點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可得CB的直線方程.對拋物線配方,還可進一步確定拋物線的頂點坐標(biāo);通過分析h為何值時拋物線頂點落在BC上、落在OB上,就能得到拋物線的頂點落在OBC內(nèi)(包括OBC的邊界)時h的取值范圍.

(3)設(shè)Pm,﹣m2+2m+3),過P作MNx軸,交直線x=﹣3于M,過BBNMN,

通過證明△BNP≌△PMQ求解即可.

(1)把點B(3,0),點C(0,3)代入拋物線y=﹣x2+bx+c中得:

解得:,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3;

(2)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,即拋物線的對稱軸是:x=1,

設(shè)原拋物線的頂點為D,

∵點B(3,0),點C(0,3).

易得BC的解析式為:y=﹣x+3,

當(dāng)x=1時,y=2,

如圖1,當(dāng)拋物線的頂點D(1,2),此時點D在線段BC上,拋物線的解析式為:y=﹣(x﹣1)2+2=﹣x2+2x+1,

h=3﹣1=2,

當(dāng)拋物線的頂點D(1,0),此時點D在x軸上,拋物線的解析式為:y=﹣(x﹣1)2+0=﹣x2+2x﹣1,

h=3+1=4,

∴h的取值范圍是2≤h≤4;

(3)設(shè)P(m,﹣m2+2m+3),

如圖2,△PQB是等腰直角三角形,且PQ=PB,

過P作MN∥x軸,交直線x=﹣3于M,過B作BN⊥MN,

易得△BNP≌△PMQ,

∴BN=PM,

即﹣m2+2m+3=m+3,

解得:m1=0(圖3)或m2=1,

∴P(1,4)或(0,3).

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