【題目】如圖,拋物線經(jīng)過點(diǎn),交y 軸于點(diǎn)C:
(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),是否存在點(diǎn)使,若存在請直接給出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在請說明理由.
(3)將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),與拋物線交于另一點(diǎn),求直線的解析式.
【答案】(1),頂點(diǎn)坐標(biāo)為();(2);(3)
【解析】
(1)由A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)由條件可求得點(diǎn)D到x軸的距離,即可求得D點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo);
(3)由勾股定理的逆定理可證得BC⊥AC,設(shè)直線AC和BE交于點(diǎn)F,過F作FM⊥x軸于點(diǎn)M,則可得BF=BC,利用相似三角形的性質(zhì)可求得F點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線BE解析式.
(1)由題意得
解得:
∴
∴ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為()
(2)存在,
由題意可知C(0,2),A(-1,0),B(4,0),
∴AB=5,OC=2,
∴S△ABC=ABOC=×5×2=5,
∵S△ABC=S△ABD,
∴S△ABD=×5=,
設(shè)D(x,y),
∴AB|y|=×5|y|=,解得|y|=3,
當(dāng)y=3時(shí),由-x2+x+2=3,解得x=1或x=2,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)或(2,3);
當(dāng)y=-3時(shí),由-x2+x+2=-3,解得x=-2或x=5,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-3)或(5,
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)D,其坐標(biāo)為(1,3)或(2,3)或(-2,-3)或(5,-3);
(3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,
∴AC= ,BC=
∴AC2+BC2=25=AB2,
∴△ABC為直角三角形,即BC⊥AC.
設(shè)直線AC與直線BE交于點(diǎn)F,過F作FM⊥x軸于點(diǎn)M,如圖所示.
由題意可知∠FBC=45°,
∴∠CFB=45°,
∴CF=BC=2
∵OC∥MF,
∴△AOC∽△AMF,
∴
∴AM=3AO=3,MF=3OC=6,
∴點(diǎn)F(2,6).
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+m(k≠0),
則 ,解得: ,
∴直線BE的解析式為y=-3x+12.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=5,點(diǎn)D為線段AC上一動(dòng)點(diǎn),將線段BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,連接AE,則AE長的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),頂點(diǎn)為,對(duì)稱軸與一次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)。
(1)求一次函數(shù)的解析式以及點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在軸上求一點(diǎn),使得和相似。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,AB=6,AC=8.動(dòng)點(diǎn)E,F同時(shí)分別從點(diǎn)A,B出發(fā),分別沿著射線AC和射線BC的方向均以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),連接EF,以EF為直徑作⊙O交射線BC于點(diǎn)M,連接EM,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(t>0).
(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),用關(guān)于t的代數(shù)式表示CE= ,CM= .(直接寫出結(jié)果)
(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)t為何值時(shí),以點(diǎn)E、F、M為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在∠ABC中,∠ABC=90°,tan∠BAC=.
(1)如圖1,分別過A、C兩點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn)B的直線的垂線,垂足分別為M、N,若點(diǎn)B恰好是線段MN的中點(diǎn),求tan∠BAM的值;
(2)如圖2,P是邊BC延長線上一點(diǎn),∠APB=∠BAC,求tan∠PAC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A(﹣,0)的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn),且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根
(1)求線段BC的長度;
(2)試問:直線AC與直線AB是否垂直?請說明理由;
(3)若點(diǎn)D在直線AC上,且DB=DC,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(4)在(3)的條件下,直線BD上是否存在點(diǎn)P,使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的頂點(diǎn)E,F在△ABC內(nèi),頂點(diǎn)D,G分別在AB,AC上,AD=AG,DG=6,則點(diǎn)F到BC的距離為( )
A.1B.2C.12﹣6D.6﹣6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,E、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn),且EF=6,M為EF中點(diǎn),P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則CP+PM的最小值是_____.
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