Question

如圖，拋物線y=-x²+4x+n經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若P是x軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求P點(diǎn)坐標(biāo)．（直接寫出答案）

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：

分析：（1）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，即可得出二次函數(shù)的解析式，把解析式換成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①PA=AB，先根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出OB的長，進(jìn)而可求出AB的長，也就知道了PB的長，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②PB=AB，此時P與A關(guān)于y軸對稱，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+4x+n經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）
∴n=-3
∴y=-x²+4x-3；
∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；
（2）∵拋物線的解析式為y=-x²+4x-3，
∴令x=0，則y=-3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3），AB=

10

，
①當(dāng)PA=AB時，PA=AB=

10

，
∴OP=PA-OA=

10

-1或OP=

10

+1．
∴P（-

10

+1，0）或（

10

+1，0）；
②當(dāng)PB=AB時，P、A關(guān)于y軸對稱，
∴P（-1，0）
因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

10

+1，0）或（

10

+1，0）或（-1，0）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的構(gòu)成等知識點(diǎn)，主要考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．