【題目】四邊形ABCD是正方形,△BEF是等腰直角三角形,∠BEF=90°BE=EF,連接DFGDF的中點(diǎn),連接EGCG,EC

1)如圖1,若點(diǎn)ECB邊的延長線上,直接寫出EGGC的位置關(guān)系及的值;

2)將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置,請問(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由;

3)將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)αα90°),若BE=1,,當(dāng)E,FD三點(diǎn)共線時(shí),求DF的長及tan∠ABF的值.

【答案】1EG⊥CG;(2)結(jié)論還成立,證明見解析;

【解析】

試題(1)過GGH⊥ECH,推出EF∥GH∥DC,求出HEC中點(diǎn),根據(jù)梯形的中位線求出EG=GCGH=EF+DC=EB+BC),推出GH=EH=BC,根據(jù)直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可.

2)延長EGH,使EG=GH,連接CH、EC,過EBC的垂線EM,延長CD,證△EFG≌△HDG,推出DH=EF=BE,∠FEG=∠DHG,求出∠EBC=∠HDC,證出△EBC≌△HDC,推出CE=CH,∠BCE=∠DCH,求出△ECH是等腰直角三角形,即可得出答案.

3)連接BD,求出,推出∠DBE=60°,求出∠ABF=30°,解直角三角形求出即可.

試題解析:(1EG⊥CG,,理由是:

如圖1,過GGH⊥ECH,

∵∠FEB=∠DCB=90°∴EF∥GH∥DC.

∵GDF中點(diǎn),∴HEC中點(diǎn).

∴EG=GC,GH=EF+DC=EB+BC),即GH=EH=BC.

∴∠EGC=90°,即△EGC是等腰直角三角形.

2)結(jié)論還成立,證明如下:

如圖2,延長EGH,使EG=GH,連接CH、EC,過EBC的垂線EM,延長CD,

△EFG△HDG中,GFGD,∠FGE∠DGHEGHG,∴△EFG≌△HDGSAS.

∴DH=EF=BE∠FEG=∠DHG.∴EF∥DH.

∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4.∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC.

△EBC△HDC中,BEDH∠EBC∠HDC,BCCD,∴△EBC≌△HDC

∴CE=CH,∠BCE=∠DCH.

∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°.

∴△ECH是等腰直角三角形,

∵GEH的中點(diǎn),

∴EG⊥GC,即(1)中的結(jié)論仍然成立.

3)如圖3,連接BD

∵AB=,正方形ABCD∴BD=2.∴.

∴∠DBE=60°.∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°.∴∠ABF=45°-15°=30°.

.∴DE=BE=.

∴DF=DE-EF=.

練習(xí)冊系列答案
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1)試求反比例函數(shù)的解析式;

2)求證:CD平分∠ACB;

3)如圖2,連接OD,在反比例的函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得SPOC=SCOD如果存在,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).如果不存在,請說明理由.

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2)指出該函數(shù)圖象所在的象限,在每個(gè)象限內(nèi),yx的增大如何變化?

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【題目】閱讀理解:

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解:由題知m,n是方程x2-x-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

根據(jù)材料1m+n=1,mn=-1,

解決問題:

(1)一元二次方程x2-4x-3=0的兩根為x1,x2,則x1+x2= ,x1x2=

(2)已知實(shí)數(shù)m,n滿足2m2-2m-1=0,2n2-2n-1=0,且mn,m2n+mn2的值.

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