Question

△ABC中，AB=AC，
（1）如圖1，以AC為直徑的⊙M交BC，作DE⊥AB于E，求證：DE是⊙M的切線．
（2）如圖2，⊙O為△ABC的外接圓，若E是AB的中點，連OE，OE=

5

2

，BC=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接MD，運用圓的性質證明DM∥AB，進而證明DE⊥DM即可解決問題；
（2）如圖，作輔助線，運用等腰三角形的性質及三角形的面積公式證明AE=

2

5

AO，進而運用勾股定理即可解決問題．

解答：證明：（1）連接DM，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MD=MC，
∴∠MDC=∠C，
∴∠B=∠MDC，
∴DM∥AB，∠MDE=∠BED，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠MDE=90°，
即DE⊥DM，
∴DE是⊙O的切線；
（2）連接OB、OC，OA，AO的延長線交BC于點D；
∵AB=AC，
∴點A在BC的垂直平分線上，
同理：由OB=OC知，
點O在BC的垂直平分線上，
∴AO垂直平分BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=2；
∵S△ABO=

1

2

BD(AD-OD)=

1

2

BD•AO，
S△ABO=

1

2

AB•OE，
∴

1

2

BD•AO=

1

2

AB•OE，
∵AB=2AE，BD=2，OE=

5

2

，
∴AE=

2

5

AO；
由題意知：OE⊥AB，
根據勾股定：
AO²=AE²+OE²，
即R2=(

2

5

R)2+(

5

2

)2，
解得：R=

25 21

42

，
即⊙O的半徑為

25 21

42

．

點評：該命題以圓和等腰三角形為載體，以切線的判定為考查的核心構造而成；同時還滲透了對等腰三角形的性質、三角形的面積公式、勾股定理的應用等幾何知識點的考查．