【題目】如圖,在正方形ABCD的外側(cè), 作兩個等腰三角形ADE和DCF,
(1) 若EA=ED=FD=FC,請判斷BE和AF的關系?并給予證明.
(2)若三角形ADE和DCF為一般三角形,且AE=DF,ED=FC,請用備用圖畫出圖形,直接寫出BE和AF的關系,不用證明.
【答案】(1)AF=BE,AF⊥BE,理由見解析(2)AF=BE,AF⊥BE,理由見解析
【解析】
(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理證明△BAE≌△ADF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進行證明;
(2)同(1)一樣的方法證明即可.
(1)在正方形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90,AB=AD=CD.
∵EA=ED=FD=FC,
在△AED和△DFC中,
,
∴△AED≌△DFC(SSS),
∴∠EAD=∠FDC.
∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC.
即∠BAE=∠ADF.
在△BAE和△ADF中,
,
∴△BAE≌△ADF(SAS)
∴AF=BE,
∴∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF+∠BAF=90,
∴∠ABE+∠BAF=90,
∴∠AMB=90,
∴AF⊥BE.
故AF=BE,AF⊥BE.
(2)所畫圖形如圖,AF=BE,AF⊥BE理由如下:
在△AED和△DFC中,
,
∴△AED≌△DFC(SSS),
∴∠EAD=∠FDC.
∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC.即∠BAE=∠ADF.
在△BAE和△ADF中, ,
∴△BAE≌△ADF(SAS),
∴AF=BE,
∴∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF+∠BAF=90,
∴∠ABE+∠BAF=90,
∴∠AMB=90,
∴AF⊥BE.
故AF=BE,AF⊥BE.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學拓展課研究小組經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)某種衣服的銷量與售價是一次函數(shù)關系,具體信息如下表:
售價(元/件) | 200 | 210 | 220 | 230 | … |
月銷量(件) | 200 | 180 | 160 | 140 | … |
已知該運動服的進價為每件160元,售價為x元,月銷量為y件.
(1)求出y關于x的函數(shù)關系式;
(2)若銷售該運動服的月利潤為w元,求出w關于x的函數(shù)關系式,并求出月利潤最大時的售價;
(3)由于運動服進價降低了a元,商家決定回饋顧客,打折銷售,結(jié)果發(fā)現(xiàn),此時月利潤最大時的售價比調(diào)整前月利潤最大時的售價低10元,則a的值是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知∠EDF的頂點D在△ABC的邊AB所在直線上(不與A,B重合),DE交AC所在直線于點M,DF交BC所在直線于點N,設AM=x,BN=y,記△ADM的面積為S1,△BND的面積為S2.
(1)如圖(1),當△ABC是等邊三角形,AB=6,∠EDF=∠A,且DE∥BC,AD=2時,S1S2= ;
(2)在(1)的條件下,將點D沿AB平移,使AD=4,再將∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)如圖(2)所示位置,
①求y與x的函數(shù)關系式;②求S1S2的值;
(3)當△ABC是等腰三角形時,設∠B=∠A=∠EDF=α,如圖(3),當點D在BA的延長線上運動時,設的AD=a,BD=b,直接寫出S1S2的關系式(用含a、b和α的三角函數(shù)表示)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.
(1)觀察猜想
圖1中,線段PM與PN的數(shù)量關系是 ,∠MPN的度數(shù)是 ;
(2)探究證明
把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=8,請直接寫出△PMN面積的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展,環(huán)境問題越來越受到人們的關注.某校學生會為了了解垃圾分類知識的普及情況,隨機調(diào)查了部分學生,調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類,并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩幅統(tǒng)計圖.
(1)求:本次被調(diào)查的學生有多少名?補全條形統(tǒng)計圖.
(2)估計該校1200名學生中“非常了解”與“了解”的人數(shù)和是多少.
(3)被調(diào)查的“非常了解”的學生中有2名男生,其余為女生,從中隨機抽取2人在全校做垃圾分類知識交流,請利用畫樹狀圖或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知關于的一元二次方程.
(1)求證:無論取何值,原方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若、是原方程的兩根,且,求的值和此時方程的兩根.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系 XOY中,對于任意兩點 (,)與 (,)的“非常距離”,給出如下定義: 若 ,則點 與點 的“非常距離”為 ;若 ,則點 與點的“非常距離”為 .
例如:點 (1,2),點 (3,5),因為 ,所以點 與點 的“非常距離”為 ,也就是圖1中線段 Q與線段 Q長度的較大值(點 Q為垂直于 y軸的直線 Q與垂直于 x軸的直線 Q的交點)。
(1)已知點 A(-,0), B為 y軸上的一個動點,①若點 A與點 B的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點 B的坐標;②直接寫出點 A與點 B的“非常距離”的最小值;
(2)已知 C是直線 上的一個動點,①如圖2,點 D的坐標是(0,1),求點 C與點 D的“非常距離”的最小值及相應的點 C的坐標; ②如圖3, E是以原點 O為圓心,1為半徑的圓上的一個動點,求點 C與點 E的“非常距離”的最小值及相應的點 E和點 C的坐標。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠用天時間生產(chǎn)一款新型節(jié)能產(chǎn)品,每天生產(chǎn)的該產(chǎn)品被某網(wǎng)店以每件元的價格全部訂購,在生產(chǎn)過程中,由于技術(shù)的不斷更新,該產(chǎn)品第天的生產(chǎn)成本(元/件)與(天)之間的關系如圖所示,第天該產(chǎn)品的生產(chǎn)量(件)與(天)滿足關系式
第天,該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤是 元;
設第天該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤為元.
①求與之間的函數(shù)關系式,并指出第幾天的利潤最大,最大利潤是多少?
②在生產(chǎn)該產(chǎn)品的過程中,當天利潤不低于元的共有多少天?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為菱形,對角線AC,BD相交于點E,F是邊BA延長線上一點,連接EF,以EF為直徑作⊙O,交DC于D,G兩點,AD分別于EF,GF交于I,H兩點.
(1)求∠FDE的度數(shù);
(2)試判斷四邊形FACD的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)當G為線段DC的中點時,
①求證:FD=FI;
②設AC=2m,BD=2n,求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比.
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