Question

如圖：PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線，并交于點P，PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F．
（1）求證：BP是∠MBN的平分線；
（2）請你在BM、BN上分別找出點G、H，使得△PGH的周長最�。�（溫馨提示：不要求尺規(guī)作圖，但必須保留作圖痕跡，不用證明）

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點P作PE⊥AC于點E，已知AP平分∠MAC，PD⊥BM，根據(jù)角平分線上點到角兩邊的距離相等得到DP=EP，同理可得PE=PF，從而可推出PD=PF，則點P在∠MBN的角平分線上，即PB平分∠MBN．
（2）作出P關(guān)于BM的對稱點P′，關(guān)于BN的對稱點P″，連接P′P″交BM、BN于G、H，此時△PGH的周長最�。�

解答：（1）證明：如圖1，過點P作PE⊥AC于點E．
∵AP平分∠MAC，PD⊥BM，
∴DP=EP（角平分線的性質(zhì)）．
同理PE=PF，
∴PD=PF，又PD⊥BM，PF⊥BN，
∴P在∠MBN的角平分線上，
∴PB平分∠MBN．
（2）解：如圖所示：

點評：此題考查了三角形的角平分線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)以及軸對稱-最短路線問題，角的平分線的性質(zhì)是本題的重點．