Question

如圖：直線y=-

2

3

x+4m（常數(shù)m＞0）交x軸于A點(diǎn)、交y軸于B點(diǎn)，四邊形AOBC是以O(shè)A、OB為邊的梯形，OA∥BC．將梯形AOBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到A₁OB₁C₁，連接B₁C交y軸于D．（如圖）
（1）請(qǐng)指出A₁、B₁的坐標(biāo)．（用含m的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)A₁DB₁C₁為平行四邊形時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．（用含m的代數(shù)式表示）
（3）若拋物線y=ax²+bx+c在（2）的條件下過(guò)A、B、C三點(diǎn)且與線段B₁C另一交點(diǎn)為E，連接A₁E，求：S_△A1DE：S_{四邊形AOBC}的值．

Answer 1

分析：（1）令y=0求出x的值，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0，求出y的值得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到點(diǎn)A₁、B₁的坐標(biāo)；
（2）設(shè)BC=x，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得B₁C₁=x，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得A₁D=x，然后求出△BCD和△B₁OD相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式用x表示出BD，再根據(jù)A₁D=A₁B+BD，代入數(shù)據(jù)得到關(guān)于x的方程，解方程即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，分別求出直線B₁C與拋物線的解析式，然后聯(lián)立求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求出△A₁DE的面積，利用梯形的面積公式求出四邊形AOBC的面積，然后相比即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則-

2

3

x+4m=0，解得x=6m，
令x=0，則y=4m，
所以，點(diǎn)A（6m，0），B（0，4m），
∵梯形AOBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到A₁OB₁C₁，
∴OA₁=0A=6m，OB₁=OB=4m，
∴A₁（0，6m），B₁（-4m，0）；

（2）設(shè)BC=x，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，B₁C₁=x，
∵四邊形A₁DB₁C₁為平行四邊形，
∴A₁D=B₁C₁=x，
∵OA∥BC，
∴△BCD∽△B₁OD，
∴

BC

OB1

=

BD

OD

，
即

x

4m

=

BD

6m-x

，
解得BD=

x(6m-x)

4m

，
又∵A₁D=A₁B+BD，
∴x=（6m-4m）+

x(6m-x)

4m

，
整理得，x²-2mx-8m²=0，
解得x₁=-2m，x₂=4m，
∵常數(shù)m＞0，
∴x=4m，
即BC=4m，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4m，4m）；

（3）設(shè)直線B₁C解析式為y=kx+b，
∵B₁（-4m，0），C（4m，4m），
∴

-4mk+b=0 4mk+b=4m

，
解得

k= 1 2 b=2m

，
∴直線B₁C：y=

1

2

x+2m，
∵A（6m，0），B（0，4m），C（4m，4m），
∴

36m2a+6mb+c=0 c=4m 16m2a+4mb+c=4m

，
解得

a=- 1 3m b= 4 3 c=4m

，
∴拋物線解析式為y=-

1

3m

x²+

4

3

x+4m，
聯(lián)立

y= 1 2 x+2m y=- 1 3m x2+ 4 3 x=4m

，
解得

x1=- 3 2 m y1= 5 4 m

，

x2=4m y2=4m

（為點(diǎn)C坐標(biāo)），
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-

3

2

m，

5

4

m），
∴S_△A1DE=

1

2

×4m•

3

2

m=3m²，S_{四邊形AOBC}=

1

2

（4m+6m）×4m=20m²，
∴S_△A1DE：S_{四邊形AOBC}=（3m²）：（20m²）=

3

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（直線解析式與拋物線解析式），以及聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，綜合性較強(qiáng)，本題最大特點(diǎn)是計(jì)算過(guò)程始終含有常數(shù)字母m，使得運(yùn)算變得較為復(fù)雜且容易出錯(cuò)，計(jì)算時(shí)要仔細(xì)認(rèn)真，避免出錯(cuò)．