Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CEDF不可能為正方形；
③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；
④點C、E、D、F四點在同一個圓上，且該圓的面積最小為4π；
⑤DE•DF+CE•CF的值是定值為8．
其中正確結論的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：連接CD，易得△ABC是等腰直角三角形，則∠A=∠B=45°，在根據等腰三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線性質得CD⊥AB，CD=AD=BD，則∠DCB=45°，得到∠A=∠DCF，然后利用“SAS”證明△ADE≌△CDF，得到ED=DF，∠CDF=∠ADE，易得∠EDC+∠CDF=90°，于是可判斷△DFE是等腰直角三角形；當E、F分別為AC、BC中點時，易判斷四邊形CDFE是正方形；由△ADE≌△CDF得S_△ADE=S_△CDF，則S_{四邊形CEDF}=S_△CDE+S_△CDF=S_△CDE+S_△ADE=S_△ADC=

1

2

S_△ABC═4，判斷四邊形CEDF的面積為定值；根據圓周角定理的推論得到點C、D在以EF為直徑的圓上，即點C、E、D、F四點在同一個圓上，由△DEF是等腰直角三角形得到EF=

2

DE，再根據垂線段最短得到當DE⊥AC時，DE最短，此時DE=

1

2

AC=2，則EF的最小值為2

2

，根據圓的面積公式得到以EF為直徑的圓的面積的最小值=2π；由S_{四邊形CEDF}=S_△CFE+S_△DEF=4，利用三角形面積公式得到

1

2

CE•CF+

1

2

DE•DF=4，所以DE•DF+CE•CF=8．

解答：解：連接CD，如圖1，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵D為AB的中點，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCF，
在△ADE和△CDF中

AE=CF ∠A=∠DCF AD=CD

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴ED=DF，∠CDF=∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正確；
當E、F分別為AC、BC中點時，如圖2，則AE=CE=CF=BF，DE=AE=CE，
∴CE=CF=DE=DF，
而∠ECF=90°，
∴四邊形CDFE是正方形，所以②錯誤；
∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△CDE+S_△CDF=S_△CDE+S_△ADE=S_△ADC=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×4×4=4，所以③錯誤；
∵△CEF和△DEF都為直角三角形，
∴點C、D在以EF為直徑的圓上，即點C、E、D、F四點在同一個圓上，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=

2

DE，
當DE⊥AC時，DE最短，此時DE=

1

2

AC=2，
∴EF的最小值為2

2

，
∴以EF為直徑的圓的面積的最小值=π•（

1

2

•2

2

）²=2π，所以③錯誤；
∵S_{四邊形CEDF}=S_△CFE+S_△DEF=4，
∴

1

2

CE•CF+

1

2

DE•DF=4，
∴DE•DF+CE•CF=8，所以④正確．
故選B．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理及其推論、等腰直角三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質；會運用三角形全等證明線段和角相等．