Question

如圖①，點A是直線y=kx（k＞0，且k為常數(shù)）上一動點，以A為頂點的拋物線y=（x-h）²+m交直線y=kx于另一點E，交y軸于點F，拋物線的對稱軸交x軸于點B，交直線EF于點C（點A、E、F兩兩不重合）．
（Ⅰ）寫出h與m之間的關(guān)系（用含k的代數(shù)式表示）；
（Ⅱ）當(dāng)點A運動到使EF與x軸平行時（如圖②），求的值；
（Ⅲ）當(dāng)點A運動到使點F的位置最低時（如圖③），求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由于拋物線的頂點（h，m）在直線y=kx上，把頂點坐標代入解析式中即可得到h與m之間的關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)EF與x軸平行時，點E與點F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到FC=CE，然后利用CA∥y軸怎么△ECA∽△EFO，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到的值；
（Ⅲ）當(dāng)點F的位置處于最低時，其縱坐標h²+kh最小，而，當(dāng)時，點F的位置最低，此時F（0，），然后解方程組得E的坐標（，），同時確定A的坐標（，），然后利用待定系數(shù)法可以確定直線EF的解析式，最后把代入直線EF的解析式中確定即點C的坐標，最后分別可以求出線段AC的長度，OF的長度解決問題．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線的頂點（h，m）在直線y=kx上，
∴m=kh；

（Ⅱ）當(dāng)EF與x軸平行時，點E與點F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴FC=CE．
∵CA∥y軸，
∴△ECA∽△EFO．
∴；

（Ⅲ）當(dāng)點F的位置處于最低時，其縱坐標h²+kh最小，（5分）
∵，
當(dāng)時，點F的位置最低，此時F（0，）．（6分）
解方程組，
得E（，），A（，）．（7分）
設(shè)直線EF的解析式為y=px+q，
將點E（，），F(xiàn)（0，）的橫縱坐標分別代入，
得．（8分）
解得∴直線EF的解析式為．（9分）
當(dāng)時，y=-k²，
即點C的坐標為（，-k²），
∵點A（，），
∴，
而，
∴．（10分）
點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的平移、函數(shù)圖象的交點坐標與其解析式的組成的方程組的解的關(guān)系及相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合性比較強，對學(xué)生的能力要求比較高，平時加強訓(xùn)練．