Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6．邊長(zhǎng)為4的等邊△DEF沿射線AC運(yùn)動(dòng)（A、D、E、C四點(diǎn)共線）．

（1）當(dāng)?shù)冗叀鱀EF的邊DF、EF與Rt△ABC的邊AB分別相交于點(diǎn)M、N（M、N不與A、B重合）時(shí)．
①試判定△FMN的形狀，并說(shuō)明理由；
②若以點(diǎn)M為圓心，MN為半徑的圓與邊AC、EF同時(shí)相切，求此時(shí)MN的長(zhǎng)．
（2）設(shè)AD=x，△ABC與△DEF重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）如圖1，①∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=∠F=60°．
∵∠A=30°，
∴∠AMD=∠FDE-∠A=30°，
∴∠FMN=∠AMD=30°，
∴∠MNF=90°，
即△FMN是直角三角形，
②如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AC于點(diǎn)G，
設(shè)DM=x，
∵∠MDG=60°，
∴MG=，
又∵△FMN是直角三角形，∠MFN=60°，
∴MN==，
∵以點(diǎn)M為圓心，MN為半徑的圓與邊AC、EF同時(shí)相切，
則有MG=MN，
即，
解得：x=2．
∴圓的半徑MN=；

（2）∵∠AMD=∠A=30°，
∴DM=AD，
∴DM=AD=x，F(xiàn)M=4-x．
又∵△FMN是直角三角形，∠MFN=60°
∴MN=MF•sinF=（4-x）×=（4-x），
FN=MF=（4-x），
S_△FMN=MN•FN=×（4-x）×（4-x）=（4-x）²．
①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，S_{四邊形DENM}=S_△FDE-S_△FMN=4-（4-x）²=-x²+x+2，
②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，
CE=AE-AC=4+x-6=x-2．
∵∠BCE=90°，∠PEA=60°，
∴PC=，
∴S_△PCE=×（x-2）（x-2）=（x-2）²．
∴y_{五邊形DCPNM}=S_△DEF-S_△FMN-S_△PCE=，
③如圖3，當(dāng)4≤x＜6時(shí)，CD=6-x，
∵∠BCE=90°，∠PDC=60°，
∴PC=，
∴y=S_△PCD=×（6-x）（6-x）=（6-x）²，
④當(dāng)x≥6時(shí) y=0．
分析：（1）①根據(jù)已知得出∠AMD=∠FDE-∠A=30°，進(jìn)而得出∠MNF=90°，
②設(shè)DM=x，根據(jù)∠MDG=60°，得出MG=，進(jìn)而得出MN=，利用MG=MN，求出即可；
（2）分別根據(jù)當(dāng)0＜x≤2時(shí)，S_{四邊形DENM}=S_△FDE-S_△FMN，②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y_{五邊形DCPNM}=S_△DEF-S_△FMN-S_△PCE，
③如圖3，當(dāng)4≤x＜6時(shí)，CD=6-x，y=S_△PCD，④當(dāng)x≥6時(shí)，y=0，得出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題，涉及到直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、三角形的面積等知識(shí)，難度適中，注意自變量x的取值范圍的分析與討論．