Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，EF交BA、DC與P、Q，求證：∠BPE=∠CQF．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理

專題：證明題

分析：連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接EH、FH，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥CD，EH=

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CD，F(xiàn)H∥AB，F(xiàn)H=

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AB，然后求出EH=FH，根據(jù)等邊對等角可得∠HFE=∠HEF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BPE=∠HFE，∠CQF=∠HEF，然后等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接EH、FH，
∵E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，
∴EH、FH分別是△BCD和△ABD的中位線，
∴EH∥CD，EH=

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CD，F(xiàn)H∥AB，F(xiàn)H=

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AB，
∵AB=DC，
∴EH=FH，
∴∠HFE=∠HEF，
∵FH∥AB，
∴∠BPE=∠HFE，
∵EH∥CD，
∴∠CQF=∠HEF，
∴∠BPE=∠CQF．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)與定理并作輔助線構(gòu)造出三角形是解題的關(guān)鍵．