Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．
（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式；
（2）需要分類討論：①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，x+3）和②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，x-1），然后利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可以求得點E的坐標；
（3）方法一：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖1．設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）．根據(jù)兩點間的距離公式可以求得線段PQ=-x²+x+2；最后由圖示以及三角形的面積公式知S_△APC=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值；
方法二：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖2．設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）．根據(jù)圖示以及三角形的面積公式知S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}-S_△AGC═-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值．

解答：解：（1）由拋物線y=-x²+bx+c過點A（-1，0）及C（2，3）得，

-1-b+c=0   -4+2b+c=3

，
解得

b=2 c=3

，
故拋物線為y=-x²+2x+3；
又設(shè)直線為y=kx+n過點A（-1，0）及C（2，3），
得

-k+n=0  2k+n=3

，
解得

k=1 n=1

，
故直線AC為y=x+1；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4），
當x=1時，y=x+1=2，
∴B（1，2），
∵點E在直線AC上，設(shè)E（x，x+1）．
①如圖2，當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，x+3），
∵F在拋物線上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去），
∴E（0，1）；
②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，x-1），
∵F在拋物線上，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得x=

1- 17

2

或x=

1+ 17

2

，
∴E（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

），
綜上，滿足條件的點E的坐標為（0，1）或（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）；

（3）方法一：如圖3，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x+1）
=-x²+x+2
又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ
=

1

2

PQ•AG
=

1

2

（-x²+x+2）×3
=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

，
∴面積的最大值為

27

8

；
方法二：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖3，
設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）
又∵S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}-S_△AGC
=

1

2

（x+1）（-x²+2x+3）+

1

2

（-x²+2x+3+3）（2-x）-

1

2

×3×3
=-

3

2

x²+

3

2

x+3
=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

，
∴△APC的面積的最大值為

27

8

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，有一定難度．解答（2）題時，要對點E所在的位置進行分類討論，以防漏解．