Question

如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上．
（1）求證：△APN∽△ABC；
（2）若這個(gè)矩形的長是寬的2倍，則寬是多少mm？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的對邊平行得到BC∥PN，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．
（2）設(shè)寬為xmm，則長為2xmm，同（1）列出比例關(guān)系求解，但是要注意有兩種情況，PQ可以為長也可以為寬，分兩種情況分別求解即可．

解答：解：（1）∵四邊形PNQM為矩形，
∴BC∥PN，
∴△APN∽△ABC；

（2）設(shè)邊寬為xmm，則長為2xmm，
∵四邊形PNMQ為矩形，
∴PN∥BC，PQ∥AD，
根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得出：

PQ

AD

=

BP

AB

、

PN

BC

=

AP

AB

，
①PQ為長，PN為寬：
由題意知PQ=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=xmm，
即

2x

80

=

BP

AB

，

x

120

=

AP

AB

，
∵AP+BP=AB，
∴

2x

80

+

x

120

=1，
解得x=30，2x=60．
即長為60mm，寬為30mm．
②PQ為寬，PN為長：
由題意知PQ=xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=2xmm，
即

x

80

=

BP

AB

，

2x

120

=

AP

AB

，
∵AP+BP=AB，
∴

x

80

+

2x

120

=1，
解得x=

240

7

，2x=

480

7

．
即長為

480

7

mm，寬為

240

7

mm．
答：矩形的長為60mm，寬是30mm或者長為

480

7

mm，寬為

240

7

mm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形以及矩形的性質(zhì)，結(jié)合了平行線的比例關(guān)系求解，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用．