求證:菱形四條邊的中點(diǎn)在以對(duì)角線交點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上.

已知:如圖所示,菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,而點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證:E,F(xiàn),G,H在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上.

答案:
解析:

  證明:連結(jié)OE,OF,OG,OH,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以AC⊥BD,AB=BC=CD=DA.而E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),所以O(shè)E=OF=OG=OH=AB,所以E,F(xiàn),G,H四個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心,以AB為半徑的圓上.

  解題指導(dǎo):要證明E,F(xiàn),G,H四個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心的同一個(gè)圓上,只需證明EO=FO=GO=HO,因?yàn)镋,F(xiàn),G,H是菱形各邊的中點(diǎn),又因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半,可得EO=FO=GO=HO=AB,命題得證.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在探究矩形的性質(zhì)時(shí),小明得到了一個(gè)有趣的結(jié)論:矩形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.如圖1,在矩形ABCD中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,BD2=AB2+AD2,又CD=AB,AD=BC,所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2(AB2+BC2).
小亮對(duì)菱形進(jìn)行了探究,也得到了同樣的結(jié)論,于是小亮猜想:任意平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.請(qǐng)你解決下列問題:
(1)如圖2,已知:四邊形ABCD是菱形,求證:AC2+BD2=2(AB2+BC2);
(2)你認(rèn)為小亮的猜想是否成立,如果成立,請(qǐng)利用圖3給出證明;如果不成立,請(qǐng)舉反例說明;
(3)如圖4,在△ABC中,BC、AC、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c,AD是BC邊上的中線.試求AD的長(zhǎng).(結(jié)果用a,b,c表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

(2013•鼓樓區(qū)一模)問題提出:
規(guī)定:四條邊對(duì)應(yīng)相等,四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等.
我們借助學(xué)習(xí)“三角形全等的判定”獲得的經(jīng)驗(yàn)與方法對(duì)“全等四邊形的判定”進(jìn)行探究.
初步思考:
在兩個(gè)四邊形中,我們把“一條邊對(duì)應(yīng)相等”或“一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”稱為一個(gè)條件.滿足4個(gè)條件的兩個(gè)四邊形不一定全等,如邊長(zhǎng)相等的正方形與菱形就不一定全等.類似地,我們?nèi)菀字纼蓚(gè)四邊形全等至少需要5個(gè)條件.
深入探究:
小莉所在學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了研究,她們認(rèn)為5個(gè)條件可分為以下四種類型:
Ⅰ一條邊和四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等;Ⅱ二條邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等;
Ⅲ三條邊和二個(gè)角對(duì)應(yīng)相等;Ⅳ四條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等.
(1)小明認(rèn)為“Ⅰ一條邊和四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)四邊形不一定全等,請(qǐng)你舉例說明.
(2)小紅認(rèn)為“Ⅳ四條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)四邊形全等,請(qǐng)你結(jié)合下圖進(jìn)行證明.
已知:如圖,
四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中,AB=A1B1,BC=B1C1,CD=C1D1,DA=D1A1,∠B=∠B1
四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中,AB=A1B1,BC=B1C1,CD=C1D1,DA=D1A1,∠B=∠B1

求證:
四邊形ABCD≌四邊形A1B1C1D1
四邊形ABCD≌四邊形A1B1C1D1

證明:

(3)小剛認(rèn)為還可以對(duì)“Ⅱ二條邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”進(jìn)一步分類,他以四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1為例,分為以下幾類:
①AB=A1B1,AD=A1D1,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1;
②AB=A1B1,AD=A1D1,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠D=∠D1;
③AB=A1B1,AD=A1D1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;
④AB=A1B1,CD=C1D1,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1
其中能判定四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1全等的是
①②③
①②③
(填序號(hào)),概括可得“全等四邊形的判定方法”,這個(gè)判定方法是
有一組鄰邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等
有一組鄰邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等

(4)小亮經(jīng)過思考認(rèn)為也可以對(duì)“Ⅲ三條邊和二個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”進(jìn)一步分類,請(qǐng)你仿照小剛的方法先進(jìn)行分類,再概括得出一個(gè)全等四邊形的判定方法.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們知道,小學(xué)對(duì)菱形的認(rèn)識(shí)是:四條邊都相等的四邊形.到了初中,對(duì)菱形的定義是:有一組鄰邊相等的平行四邊形,請(qǐng)你利用初中的定義來說明小學(xué)認(rèn)識(shí)的合理性.先補(bǔ)全題目,再完成證明:
如圖,在?ABCD中,已知
AB=AD
AB=AD
,
求證:
四邊形ABCD是菱形
四邊形ABCD是菱形

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在探究矩形的性質(zhì)時(shí),小明得到了一個(gè)有趣的結(jié)論:矩形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.如圖1,在矩形ABCD中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,BD2=AB2+AD2,又CD=AB,AD=BC,所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2(AB2+BC2).
小亮對(duì)菱形進(jìn)行了探究,也得到了同樣的結(jié)論,于是小亮猜想:任意平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.請(qǐng)你解決下列問題:
(1)如圖2,已知:四邊形ABCD是菱形,求證:AC2+BD2=2(AB2+BC2);
(2)你認(rèn)為小亮的猜想是否成立,如果成立,請(qǐng)利用圖3給出證明;如果不成立,請(qǐng)舉反例說明;
(3)如圖4,在△ABC中,BC、AC、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c,AD是BC邊上的中線.試求AD的長(zhǎng).(結(jié)果用a,b,c表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011年安徽省馬鞍山市成功學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

在探究矩形的性質(zhì)時(shí),小明得到了一個(gè)有趣的結(jié)論:矩形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.如圖1,在矩形ABCD中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,BD2=AB2+AD2,又CD=AB,AD=BC,所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2(AB2+BC2).
小亮對(duì)菱形進(jìn)行了探究,也得到了同樣的結(jié)論,于是小亮猜想:任意平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.請(qǐng)你解決下列問題:
(1)如圖2,已知:四邊形ABCD是菱形,求證:AC2+BD2=2(AB2+BC2);
(2)你認(rèn)為小亮的猜想是否成立,如果成立,請(qǐng)利用圖3給出證明;如果不成立,請(qǐng)舉反例說明;
(3)如圖4,在△ABC中,BC、AC、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c,AD是BC邊上的中線.試求AD的長(zhǎng).(結(jié)果用a,b,c表示)

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