求證:菱形四條邊的中點(diǎn)在以對(duì)角線交點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上.
已知:如圖所示,菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,而點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證:E,F(xiàn),G,H在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上.
證明:連結(jié)OE,OF,OG,OH,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以AC⊥BD,AB=BC=CD=DA.而E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),所以O(shè)E=OF=OG=OH=AB,所以E,F(xiàn),G,H四個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心,以AB為半徑的圓上. 解題指導(dǎo):要證明E,F(xiàn),G,H四個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心的同一個(gè)圓上,只需證明EO=FO=GO=HO,因?yàn)镋,F(xiàn),G,H是菱形各邊的中點(diǎn),又因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半,可得EO=FO=GO=HO=AB,命題得證. |
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