Question

如圖，過圓O外一點(diǎn)D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點(diǎn)E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．
（1）求證：E為

BC

的中點(diǎn)；
（2）若CF=3，DE•EF=

15

4

，求EF的長．

Answer 1

分析：要證E為

BC

中點(diǎn)，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長需要借助相似，得出比例式，之間的關(guān)系可以求出．

解答：（1）證明：連接OE
OA=OE=＞∠OAE=∠OEA
OE切圓O于E=＞OE⊥DE
AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°
=＞∠EAD=∠OEA
=＞E為

BC

的中點(diǎn)．

（2）解：連CE，則∠AEC=90°，設(shè)圓O的半徑為x
∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞
DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA
∴

DE

AD

=

CE

AE

，

CE

AE

=

CF

EF

∴

DE

AD

=

CF

EF

即DE•EF=AD•CF
DE•EF=

15

4

，CF=3
∴AD=

5

4

OE∥AD=＞

OE

AD

=

OF

AF

=＞

x

5 4

=

x+3

2x+3

=＞8x²+7x-15=0
∴x₁=1，x₂=-

15

8

（舍去）
∴EF²=FC•FA=3x（3+2）=15
∴EF=

15

點(diǎn)評：此題主要考查了圓中三角形的相似，以及證明弧相等的方法，綜合性較強(qiáng)，通過認(rèn)真的思考，一定能提升同學(xué)們的綜合能力．