Question

如圖，過圓O外一點(diǎn)D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點(diǎn)E，交AO的延長(zhǎng)線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．
（1）求證：E為的中點(diǎn)；
（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OE
OA=OE=＞∠OAE=∠OEA
OE切圓O于E=＞OE⊥DE
AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°
=＞∠EAD=∠OEA
=＞E為的中點(diǎn)．

（2）解：連CE，則∠AEC=90°，設(shè)圓O的半徑為x
∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽R(shí)t△AEC=＞
DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA
∴，
∴
即DE•EF=AD•CF
DE•EF=，CF=3
∴AD=
OE∥AD=＞=＞=＞8x²+7x-15=0
∴x₁=1，x₂=-（舍去）
∴EF²=FC•FA=3x（3+2）=15
∴EF=
分析：要證E為中點(diǎn)，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長(zhǎng)需要借助相似，得出比例式，之間的關(guān)系可以求出．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓中三角形的相似，以及證明弧相等的方法，綜合性較強(qiáng)，通過認(rèn)真的思考，一定能提升同學(xué)們的綜合能力．