Question

如圖，已知兩點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0）在x軸上，以AB為直徑的半⊙P交y軸于點(diǎn)C．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）設(shè)AC的垂直平分線交OC于D，連接AD并延長(zhǎng)AD交半圓P于點(diǎn)E，弧AC與弧CE相等嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：
（1）易知：OA=1，OB=4，連接BC，在直角三角形ABC中，根據(jù)射影定理，可得：OC²=OA•OB=4，
∴OC=2，即C（0，2）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4）
已知拋物線過C（0，2），
則有：a（0+1）（0-4）=2，a=-
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2．

（2）相等；
證明：如圖：設(shè)⊙P與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)F，根據(jù)垂徑定理可得：弧AF=弧AC．
∵D在線段AC的垂直平分線上；
∴AD=CD
∴∠CAD=∠ACD
∴弧AF=弧CE
∴弧AC=弧CE．
分析：（1）本題的關(guān)鍵是求出C點(diǎn)坐標(biāo)，已知了A、B的坐標(biāo)，即可求得OA、OB的長(zhǎng)，連接BC，在直角三角形ABC中，根據(jù)射影定理即可求出OC的長(zhǎng)，也就得出了C點(diǎn)坐標(biāo)．然后根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）相等．首先將另一半圓補(bǔ)全，設(shè)圓P與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為F，根據(jù)垂徑定理可得出弧AC=弧AF，由于D點(diǎn)在線段AC的垂直平分線上，那么AD=CD，即∠CAE=∠ACF，由此可得出弧AF=弧CE，將等量值置換后可得弧AC=弧CE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、垂徑定理、圓周角定理等知識(shí)．