Question

已知關于x的方程x²+2（k-3）x+k²=0有兩個實數根x₁、x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）若|x₁+x₂-9|=x₁x₂，求k的值．

Answer 1

解：（1）根據題意，得△≥0，
即[2（k-3）]²-4k²≥0，
解得，k≤；

（2）根據韋達定理，得
x₁+x₂=-2（k-3），x₁x₂=k²，
∴由|x₁+x₂-9|=x₁x₂，得
|-2（k-3）-9|=k²，即|2k+3|=k²，
以下分兩種情況討論：
①當2k+3≥0，即k≥-時，2k+3=k²，
即k²-2k-3=0，
解得，k₁=-1，k₂=3；
又由（1）知，k≤，
∴-≤k≤，
∴k₂=3不合題意，舍去，
即k₁=-1；
②當2k+3＜0，即k＜-時，-2k-3=k²，
即k²+2k+3=0，此方程無實數解．
綜合①②可知，k=-1．
分析：（1）根據一元二次方程的根的判別式△=b²-4ac＞0來求k的取值范圍；
（2）利用韋達定理求的關于k的一元二次方程|2k+3|=k²；然后根據（1）的k的取值范圍，需要對其分類討論：①當2k+3≥0，即k≥-時，2k+3=k²，通過解方程求的k的值即可；②當2k+3＜0，即k＜-時，-2k-3=k²，通過解方程求的k的值即可．
點評：本題考查了根的判別式、根與系數的關系．一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．