【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),以AD為邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE.設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)求證:△CAE≌△BAD;
(2)探究:當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上移動(dòng)時(shí),α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由;
(3)如圖2,若∠BAC=90°,CE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.求證:EF=DC.
【答案】(1)詳見解析;(2)α+β=180°;理由見解析;(3)詳見解析;
【解析】
(1)首先由∠DAE=∠BAC,得出∠CAE=∠BAD,然后由AD=AE,AC=AB,即可判定△CAE≌△BAD;
(2)首先由△CAE≌△BAD,得出∠ACE=∠B,然后由AB=AC,得出∠B=∠ACB,進(jìn)而得出∠ACE=∠B=∠ACB,∠BCE=β=2∠B,即可得出α+β=180°;
(3)由△CAE≌△BAD,得出CE=BD,再由∠BAC=90°,AB=AC,得出∠B=∠ACB=45°,又由∠BCF+∠BAC=180°,得出∠BCF=90°,∠F=∠B=45°,進(jìn)而得出CF=CB,即可得出EF=DC.
(1)證明:∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE﹣∠DAC=∠BAC﹣∠DAC,
∴∠CAE=∠BAD.
∵AD=AE,AC=AB,
∴△CAE≌△BAD(SAS).
(2)解:α+β=180°,
理由如下:
由△CAE≌△BAD,
∴∠ACE=∠B.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠ACE=∠B=∠ACB.
∴∠BCE=β=2∠B,
在△ABC中,∠BAC=α=180°﹣2∠B.
∴α+β=180°.
(3)證明:由(1)知,△CAE≌△BAD,
∴CE=BD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
由(2)得,∠BCF+∠BAC=180°.
∴∠BCF=90°.
∴∠F=∠B=45°,
∴CF=CB.
∴CF﹣CE=CB﹣BD.
∴EF=DC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使OE=OD,連接AE,BE.
(1)求證:四邊形AEBD是矩形;
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),矩形AEBD是正方形,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD是等邊三角形ABC的角平分線,E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且CE=CD,DF=BC,垂足為F.BF與EF相等嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB的垂直平分線分別交AB,BC于D,E,AC的垂直平分線分別交AC,BC于F,G.
(1)若△AEG的周長(zhǎng)為10,求線段BC的長(zhǎng).
(2)若∠BAC=128°,求∠EAG的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,E為BC的中點(diǎn),連接DE、AE,AE⊥DE,延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若AB=5,CD=3,則AD的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(10分)水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購進(jìn)某種水果若干斤,然后以每斤4元的價(jià)格出售,每天可售出100斤,通過調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元,每天可多售出20斤,為保證每天至少售出260斤,張阿姨決定降價(jià)銷售.
(1)若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元,則每天的銷售量是 斤(用含x的代數(shù)式表示);
(2)銷售這種水果要想每天盈利300元,張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將拋物線c1: 沿x軸翻折,得到拋物線c2,如圖1所示.
(1)請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式;
(2)現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B;將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N,與軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E.
①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí),求m的值;
②在平移過程中,是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),頂點(diǎn)為.直線交軸于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn).
求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo);
點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若以,,,為頂點(diǎn)的四邊形僅有一組對(duì)邊平行,求點(diǎn)的坐標(biāo);
連接,點(diǎn)在直線上,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,點(diǎn)到點(diǎn)的距離為,求的最小值.
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