Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點D為y軸上一點，⊙D與坐標(biāo)軸分別相交于A（-

3

，0）、C（0，3）及B、F四點．E為優(yōu)弧

AB

上一動點（不與A、B、C三點重合），M為半徑DE的中點，過點E作EN⊥x軸于點N，連接MN，當(dāng)∠ENM=15°時，點E的坐標(biāo)為（1，

3

+1）或（-1，

3

+1）．請判斷此時以DE為直徑的⊙M與直線DN的位置關(guān)系．

Answer 1

考點：圓的綜合題,勾股定理,正方形的判定與性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,特殊角的三角函數(shù)值

專題：探究型

分析：①當(dāng)點E的坐標(biāo)為（1，

3

+1）時，連接AD，如圖1．設(shè)點D的坐標(biāo)為（0，m），根據(jù)OC=CD+OD建立關(guān)于m的方程，求出m，從而可求出OD、DE．過點D作DH⊥EN于H，易證四邊形DONH是正方形，從而得到∠HDN=45°，NH=OD=1，在Rt△DHE中運用三角函數(shù)可求出∠EDH的度數(shù)，進(jìn)而得到∠EDN=105°，故DN與⊙M相交；
②當(dāng)點E的坐標(biāo)為（-1，

3

+1）時，連接AD，如圖2．設(shè)點D的坐標(biāo)為（0，m），根據(jù)OC=CD+OD建立關(guān)于m的方程，求出m，從而可求出OD、DE．過點D作DH⊥EN于H，易證四邊形DONH是正方形，從而得到∠HDN=45°，NH=OD=1，在Rt△DHE中運用三角函數(shù)可求出∠EDH的度數(shù)，進(jìn)而得到∠EDN=105°，故DN與⊙M相交．

解答：解：①當(dāng)點E的坐標(biāo)為（1，

3

+1）時，連接AD，如圖1．
設(shè)點D的坐標(biāo)為（0，m），
則DE=CD=AD=

AO2+DO2

=

3+m2

，
∴OC=CD+OD=

3+m2

+m=3，
解得：m=1．
∴OD=1，DE=2．
∵點E的坐標(biāo)為（1，

3

+1），EN⊥x軸，
∴N（1，0）．即ON=1．
過點D作DH⊥EN于H，如圖1．
∴∠DON=∠DHN=∠ONH=90°，
∴四邊形DONH是矩形．
∵ON=OD，
∴矩形DONH是正方形，
∴∠HDN=45°，NH=OD=1，
∴EH=

3

+1-1=

3

．
在Rt△DHE中，
∵sin∠EDH=

EH

ED

=

3

2

，
∴∠EDH=60°，
∴∠EDN=∠EDH+∠HDN=60°+45°=105°．
故DN與⊙M相交．
②當(dāng)點E的坐標(biāo)為（-1，

3

+1）時，連接AD，如圖2．
設(shè)點D的坐標(biāo)為（0，m），
則DE=CD=AD=

AO2+DO2

=

3+m2

，
∴OC=CD+OD=

3+m2

+m=3，
解得：m=1．
∴OD=1，DE=2．
∵點E的坐標(biāo)為（-1，

3

+1），EN⊥x軸，
∴N（-1，0）．即ON=1．
過點D作DH⊥EN于H，如圖．
∴∠DON=∠DHN=∠ONH=90°，
∴四邊形DONH是矩形．
∵ON=OD，
∴矩形DONH是正方形，
∴∠HDN=45°，NH=OD=1，
∴EH=

3

+1-1=

3

．
在Rt△DHE中，
∵sin∠EDH=

EH

ED

=

3

2

，
∴∠EDH=60°，
∴∠EDN=∠EDH+∠HDN=60°+45°=105°．
故DN與⊙M相交．
綜上所述：DN與⊙M相交．

點評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、正方形判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、解無理方程等知識，有一定的綜合性．