Question

【題目】如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1）．以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作∠CAD=90°，射線AC交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，射線AD交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D．

（1）求直線AB的解析式；

（2）OD﹣OC的值是否為定值？如果是，求出它的值；如果不是，求出它的變化范圍；

（3）平面內(nèi)存在點(diǎn)P，使得A、B、C、P四點(diǎn)能構(gòu)成菱形，

①P點(diǎn)坐標(biāo)為 ；

②點(diǎn)Q是射線AC上的動點(diǎn)，求PQ+DQ的最小值．

Answer 1

【答案】解：(1) y=x+1

(2) 是定值；OD-OC=8；

(3) ①（-4，-1） ②PQ+DQ的最小值為

【解析】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），∵點(diǎn)A（﹣4，4），點(diǎn)B（0，1）在直線AB上，∴ ，解得： ，∴直線AB的解析式為： ；

（2）是定值．理由如下：

過點(diǎn)A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E，F（如答圖），可得∠AED=∠AFC=90°，又∵∠BOD=90°，∴∠EAF=90°，即∠CAE+∠CAF=90°，∵∠CAD=90°，即∠CAE+∠DAE=90°，∴∠DAE=∠CAF，∵A（﹣4，4），∴OE=AF=AE=OF=4，在△AED和△AFC中，∵∠DAE=∠CAF，AE=AF，∠AED=∠AFC=90°，∴△AED≌△AFC（ASA），∴ED=FC，∴OD﹣OC=（OE+ED）﹣（FC﹣OF）=OE+OF=8，則OD﹣OC的值不發(fā)生變化，值為8；

（3）①∵菱形的對角線互相垂直，而AB和BC顯然不可能垂直，∴AB和BC只能是鄰邊，∵AB= =5，∴BC=5，∴C（0，-4），設(shè)P（x，y），則由菱形對角線互相平分和中點(diǎn)坐標(biāo)公式有： ， ，解得：x=-4，y=-1．∴P（-4，-1）．

②∵菱形ABCP中，B、P關(guān)于AC對稱， ∴PQ=BQ， ∴（PQ+DQ）min=（BQ+DQ）min=BD

∵BC=BA=5，∴OC=4

由（2）得，OD=OC+8=12， ∴Rt△BOD中，

答：PQ+DQ的最小值為．