Question

如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別是BC、CD上一點，連接DE、EF，且AE=AF，∠DAE=∠BAF．  
（1）求證：CE=CF；
（2）若∠ABC=120°，點G是線段AF的中點，連接DG，EG．求證：DG⊥GE．

Answer 1

考點：菱形的性質,全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）欲證明CE=CF，只需證得BE=DF，所以利用全等三角形△ABE≌△ADF的性質來推知BE=DF即可；
（2）如圖，延長EG到點H，使HG=EG，連接HA、HD．構建全等三角形△HAG≌△EFG、△HAD≌△ECD、△DGH≌△DGE，利用全等三角形的對應角相等來證明∠DGH=∠DGE=90°，即DG⊥GE．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=BC．
∵∠DAE=∠BAF，
∴∠BAE=∠DAF．
在△ABE與△ADF中，

AE=AF ∠BAE=∠DAF AE=AF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，
∴BC-BE=DC-DF，即CE=CF；

（2）如圖，延長EG到點H，使HG=EG，連接HA、HD．
∵點G是AF的中點，
∴AG=FG，
在△HAG與△EFG中，

HG=EG ∠HGA=∠EGF AG=FG

，
∴△HAG≌△EFG（SAS），
∴EF=AH，∠HAG=∠EFG，
∴AH∥EF．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC=BC=AD．
∵由（1）知，BE=DF，且∠BAE=∠DAF，EC=FC．
∵∠ABC=120°，
∴∠C=60°，
∴△EFC是等邊三角形，
∴∠FEC=60°，
∴EC=FE．
由上述知，FE=HA，
∴EC=HA，∠HAG=∠HAD+∠DAF=∠EFG．
∵AF=AE，
∴∠FEF=∠AEF．
∵∠BAD=60°，
∴∠EAF=60°-∠BAE-∠DAF=60°-2∠DAF．
在△AEF中，∠EAF=108°-∠AEF-∠EFG=180°-2∠EFG=180°-2（∠HAD+∠DAF），
∴∠HAD=60°．
在△HAD與△ECD中，

EC=HA ∠FEC=∠HAD=60° DC=AD

，
∴△HAD≌△ECD（SAS），
∴DE=DH，
易證△DGH≌△DGE，
故∠DGH=∠DGE=90°，即DG⊥GE．

點評：本題考查了菱形的性質的運用，線段的中點的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時運用菱形的性質證明三角形全等是關鍵．