Question

已知x₁，x₂是關(guān)于一元二次方程x²+4x+m-1=0的兩個實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；   
（2）若（x₁-2）（x₂-2）=10，求m的值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根得出△≥0，代入求出即可．
（2）先求出x₁+x₂=-4，x₁•x₂=m-1，把（x₁-2）（x₂-2）=10轉(zhuǎn)化成x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=10，代入求出即可．

解答：解：（1）∵x₁，x₂是關(guān)于一元二次方程x²+4x+m-1=0的兩個實數(shù)根，
∴△=4²-4×1×（m-1）=-4m+20≥0，
解得：m≤5，
即m的取值范圍是：m≤5．

（2）∵x₁，x₂是關(guān)于一元二次方程x²+4x+m-1=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=-4，x₁•x₂=m-1，
∵（x₁-2）（x₂-2）=10，
∴x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=10，
∴（m-1）-2×（-4）+4=10，
解得：m=3，
∵m≤5，
∴m=3符合題意，
即m=3．

點評：本題考查了一元二次方程的定義，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0，（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b²-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)b²-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根．