Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連結(jié)AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C．
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，S_ABCD=

16 3

3

，求AE的長；
（3）在（1）、（2）條件下，若AD=3，求BF的長（計(jì)算結(jié)果可含根號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)可得到∠BFA=∠D，結(jié)合條件可證得△ABF∽△EAD；
（2）利用平行四邊形的面積公式，結(jié)合勾股定理可求得AE；
（3）利用（1）中相似三角形，得到線段成比例，可求得BF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠BAF=∠AED，∠C+∠D=180°，
∵∠C=∠BFE，∠BFE+∠BFA=180°，
∴∠D=∠BFA，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵S_ABCD=

16 3

3

，
∴AB•BE=

16 3

3

，
∵AB=4
∴BE=

4 3

3

，
∴AE²=AB²+BE²=4²+（

4 3

3

）²，
∴AE=

8 3

3

；
（3）解：由（1）有

AB

EA

=

BF

AD

，
又∵AD=3，
∴BF=

AB×AD

EA

=4×3×

3

8 3

=

3 3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．注意方程思想的應(yīng)用．