Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．

（1）求證：AE•AO=BF•BO；

（2）若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），求經(jīng)過O、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）是否存在這樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出此時(shí)的OF的長：若不存在，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵E，F(xiàn)點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上，

∴根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，，

∴AE•AO=BF•BO；

（2）∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），

∴AE•AO=BF•BO=8，

∵BO=6，∴BF=，

∴F（6，），

分別代入二次函數(shù)解析式得：，

解得：，

∴；

（3）如果設(shè)折疊之后C點(diǎn)在OB上的對稱點(diǎn)為C'，連接C'E、C'F，過E作EG垂直于OB于點(diǎn)G，則根據(jù)折疊性質(zhì)、相似三角形、勾股定理有以下幾個(gè)關(guān)系可以考慮：

設(shè)BC'=a，BF=b，則C'F=CF=．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)F（6，b），E（1.5b，4）．

EC'=EC=，

∴在Rt△C'BF中， ①

∵Rt△EGC'與∽R(shí)t△C'BF，

∴（）：（）=4：a=（）：b ②，

解得：，

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，）．

∴FO= ．