Question

如圖，△ABC中I是角平分線BD、CE的交點(diǎn)．
（1）求證：∠BIC=90°+

1

2

∠A；
（2）若∠A=60°，探索BC、BE、CD有何關(guān)系？猜想并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠IBC+∠ICB=

1

2

（180°-∠A），然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式計(jì)算即可求出∠BIC的度數(shù)；
（2）連接IA，作IF⊥AB于點(diǎn)F，IG⊥AC于點(diǎn)G，IH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得IF=IG=IH，從而可得△BIF和△BIH全等，△CIG和△CIH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BH=BF，CH=CG，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠FIG=120°，根據(jù)對頂角相等求出∠EID=120°，然后推出∠EIF=∠DIG，再利用“角邊角”證明△EIF和△DIG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=DG，ID=IE，即可求解．

解答：（1）證明：∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
又∵BD、CE是△ABC的角平分線，
∴∠IBC+∠ICB=

1

2

（180°-∠A），
∴∠BIC=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A；

（2）解：如圖，連接IA，作IF⊥AB于點(diǎn)F，IG⊥AC于點(diǎn)G，IH⊥BC于點(diǎn)H，
∵△ABC的兩條角平分線BD、CE交于I，
∴IF=IG=IH，
利用“HL”可得△BIF≌△BIH，△CIG≌△CIH，
∴BH=BF，CH=CG，
在四邊形AFIG中，∠FIG=360°-60°-90°×2=120°，
∴DIG=∠FIG-∠DIF=120°-∠DIF，
又∵∠EID=∠BIC=120°，
∴∠EIF=∠EID-∠DIF=120°-∠DIF，
∴∠EIF=∠DIG，
在△EIF和△DIG中，

∠EIF=∠DIG IF=IG ∠EFI=∠DGI=90°

，
∴△EIF≌△DIG（ASA），
∴EF=DG，ID=IE，故C選項(xiàng)正確；
∴BC=BH+CH=BF+CG=BE+EF+CD-DG=BE+CD，
即BC=BE+CD．

點(diǎn)評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，并根據(jù)∠A=60°推出，∠FIG=∠EID=120°，從而證明得到∠EIF=∠DIG是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是解決本題的難點(diǎn)．