Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，AE與CD相交于點(diǎn)H，CF⊥AE交AB于點(diǎn)F，垂足為G，連結(jié)EF、FH和DG．
①求證：△ACH≌△CBF；
②求證：AE=EF+FC；
③若AC=6，求線段DG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠CAH=∠BCF，即可證明△ACH≌△CBF；
（2）易證∠HAD=∠FCD，即可證明△ADH≌△CDF，可得AH=CF，再可證明△CHE≌△BFE，可得HE=EF，即可解題；
（3）連接DE，過(guò)D作DM⊥AE于M，即可求得GE的長(zhǎng)，再根據(jù)G，E分別是AB，BC中點(diǎn)，即可求得DE、EM、DM的長(zhǎng)，即可解題．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB．∠ACD=∠BCD=45°，
∵CF⊥AE，
∴∠CAH+∠AEC=∠BCF+∠AEC，
∴∠CAH=∠BCF，
在△ACH和△CBF中

∠ACD=∠BCD ∠CAH=∠BCF AC=BC

∴△ACH≌△CBF（AAS）；
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB．∠ACD=∠BCD=45°，
∴CD=AD，
∵CD⊥AB，CF⊥AE，
∴∠ADH=∠CGH，
∵∠AHD=∠CHG，
∴∠HAD=∠FCD，
在△ADH和△CDF中，

∠HAD=∠FCD ∠ADH=∠CGH AD=CD

，
∴△ADH≌△CDF（AAS），
∴AH=CF，
∵△ACH≌△CBF，
∴CH=BF，
在△CHE和△BFE中，

CH=BF ∠HCE=∠B=45° CE=BE

，
∴△CHE≌△BFE（SAS），
∴HE=EF，
∴AH+HE=CF+EF，
即AE=EF+FC．
（3）連接DE，過(guò)D作DM⊥AE于M，

∴AE=

AC2+CE2

=3

5

，
∴CG=

AC•CE

AE

=

6 5

5

，
GE=

3 5

5

，
∵G，E分別是AB，BC中點(diǎn)，
∴DE=3，DE∥AC，
∴∠DEM=∠CAE，
∴EM=

6 5

5

，DM=

3 5

5

，
∴MG=MD=

3 5

5

，
∴DG=

2

DM=

3 10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中求證△ACH≌△CBF是解題的關(guān)鍵．