Question

已知如圖△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BO和CO相交于O點(diǎn)
（1）當(dāng)∠A=40°時(shí)，∠BOC=

 

；
（2）當(dāng)∠BOC=m時(shí)，則∠A為多少？（用含m的式子表示）說明理由．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，已知∠A即可得到∠ABC與∠ACB的和，而BO、CO是∠ABC，∠ACB的兩條角平分線，即可求得∠OBC與∠OCB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義和三角形外角和定理進(jìn)行證明．

解答：解：（1）△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，
∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的兩條角平分線．
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=70°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=110°．
故答案為：110°；

（2）∠BOC=90°+

1

2

∠A．
理由如下：延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)P，
∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠A+2∠ABP+2∠ACO=180°，
∴∠ABP+∠ACO=90°-

1

2

∠A，
∵∠BPC=∠A+∠ABP，
∠BOC=∠BPC+∠ACO，
∴∠BOC=∠A+∠ABP+∠ACO=90°+

1

2

∠A．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的角平分線的定義，熟練應(yīng)用三角形外角和定理得出是解決問題的關(guān)鍵．