Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），C（0，-2），點(diǎn)B在x軸上，拋物線過(guò)A、B、C三點(diǎn)且對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

1

2

，點(diǎn)P為直線BC下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（P不與B、C重合），過(guò)P作y軸的平行線交BC于F．
（1）求拋物線解析式；
（2）若P的橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)；
（3）求△PBC的面積的最大值及此時(shí)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）先根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-2），然后把C（0，-2）代入可計(jì)算出a的值為1，從而得到拋物線解析式為y=x²-x-2；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x-2，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到F點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m-2），P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m²-m-2），于是用F點(diǎn)與P點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差得到線段PF；
（3）過(guò)點(diǎn)P作l∥BC，交y軸于Q點(diǎn)，如圖，只有當(dāng)l與拋物線只有唯一的公共點(diǎn)P時(shí)，△PBC的面積最大；設(shè)此時(shí)l的解析式為y=x+n，所以方程組

y=x2-x-2 y=x+n

有唯一一組解，消去y得到關(guān)于x的方程x²-2x-2-n=0，利用△=0解得n=-3，同時(shí)解得x₁=x₂=1，利用直線l的解析式y(tǒng)=x-3可確定此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），再計(jì)算出S_△BCQ=1，由于l∥BC，所以S_△PBC=S_△BCQ=1．

解答：解：（1）∵拋物線過(guò)A（-1，0）和點(diǎn)B，且對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

1

2

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-2），
把C（0，-2）代入得a•1•（-2）=-2，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-2）=x²-x-2；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（2，0）、C（0，-2）代入得

2k+b=0 b=-2

，解得

k=1 b=-2

，
∴直線BC的解析式為y=x-2，
∵過(guò)P作y軸的平行線交BC于F，
∴當(dāng)P的橫坐標(biāo)為m時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m-2），P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m²-m-2），
∴PF=m-2-（m²-m-2）=-m²+2m（0＜m＜2）；

（3）過(guò)點(diǎn)P作l∥BC，交y軸于Q點(diǎn)，如圖，
∵當(dāng)l與拋物線只有唯一的公共點(diǎn)P時(shí)，△PBC的面積最大，設(shè)此時(shí)l的解析式為y=x+n，
∴方程組

y=x2-x-2 y=x+n

有唯一一組解，即x²-x-2=x+n有相等的實(shí)數(shù)解，
整理得x²-2x-2-n=0，△=（-2）²-4（-2-n）=0，解得n=-3，
∴x₁=x₂=1，
∴直線l的解析式為y=x-3，
∵當(dāng)x=1時(shí)，y=x-3=-2，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），
∵Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴S_△BCQ=

1

2

OB•CQ=

1

2

×2×1=1，
∵l∥BC，
∴S_△PBC=S_△BCQ=1，
即△PBC的面積的最大值為1，此時(shí)P的坐標(biāo)為（1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會(huì)利用方程組的問(wèn)題確定兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；會(huì)根據(jù)三角形面積公式計(jì)算三角形的面積．