(2008•宜賓)已知:如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸、y軸分別相交于點A(-1,0)、B(0,3)兩點,其頂點為D.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若該拋物線與x軸的另一個交點為E.求四邊形ABDE的面積;
(3)△AOB與△BDE是否相似?如果相似,請予以證明;如果不相似,請說明理由.
(注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為

【答案】分析:(1)由于拋物線的解析式中只有兩個未知數(shù),因此可根據(jù)A,B兩點的坐標,用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)由于四邊形ABDE不是規(guī)則的四邊形,因此可將ABDE分割成幾個規(guī)則的圖形后再進行求解.可設拋物線的對稱軸與x軸的交點為F,那么四邊形ABDE的面積=三角形AOB的面積+直角梯形BOFD的面積+三角形DFE的面積,根據(jù)拋物線的解析式可求得D、E兩點的坐標,因此就可求出DF、OF、EF的長,根據(jù)A、B兩點的坐標可得出OA、OB的長,那么求這些圖形面積的相關線段的長就都已求出,進而可得出四邊形ABDE的面積.
(3)可先根據(jù)B、D、E的坐標,求出BD、DE、BE的長,由于三角形AOB是直角三角形,要想判定兩三角形是否相似,就要先判斷三角形BDE是否為直角三角形,可根據(jù)BD、DE、BE三邊的長以及勾股定理,來判斷出三角形BDE是否為直角三角形,如果是直角三角形,那么找出三角形BDE中的直角,然后看夾直角的兩組對應邊是否成比例即可得出兩三角形是否相似.
解答:解:(1)由已知得:
解得c=3,b=2
∴拋物線的線的解析式為y=-x2+2x+3.

(2)由頂點坐標公式得頂點坐標為(1,4)
所以對稱軸為x=1,A,E關于x=1對稱,
所以E(3,0)
設對稱軸與x軸的交點為F
所以四邊形ABDE的面積=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE=AO•BO+(BO+DF)•OF+EF•DF
=×1×3+(3+4)×1+×2×4
=9

(3)相似.如圖,連接AB、BD、DE,過點D作DF⊥x軸于點F,過點B作BG⊥DF于點G.
BD=
BE=
DE=
所以DE2=20,即:BD2+BE2=DE2,
所以△BDE是直角三角形,所以∠AOB=∠DBE=90°,且,
所以△AOB∽△DEB.
點評:本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法,相似三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合應用等知識點.本題中確定二次函數(shù)的解析式是解題的關鍵.
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(1)求證:AE=AF;
(2)若∠B=60°,點E,F(xiàn)分別為BC和CD的中點,求證:△AEF為等邊三角形.

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