Question

已知：如圖①，正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，
過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．
【小題1】（1）求證：EG=CG；
【小題2】（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45º，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．     
【小題3】（3）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）

Answer 1

【小題1】（1）證明：如圖①，在Rt△FCD中，
∵ G為DF的中點(diǎn)，
∴CG=FD．…………………………………………..1分
同理，在Rt△DEF中，EG=FD．
∴ CG=EG．…………………………………………….2分
【小題2】（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．…………….3分
證法一：如圖②(一)，連接AG，過G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)．
在△DAG與△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．…………………………………………………..4分
在△DMG與△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG ………………………………………………5分
在矩形AENM中，AM=EN．
在Rt△AMG與Rt△ENG中，
∵AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
∴EG=CG． …………………………………………………… 6分
證法二：如圖②(二)，延長(zhǎng)CG至M，使MG=CG，
連接MF，ME，EC，
在△DCG 與△FMG中，
∵ FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴ △DCG ≌△FMG．
∴ MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ………………………………..4分
∴ MF∥CD∥AB．
∴ ．
在Rt△MFE與Rt△CBE中，……………………………………….5分
∵MF=CB，EF=BE，
∴ △MFE≌△CBE．.
∴ ．
∴ ∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． 
∴ △MEC為直角三角形．
∵ MG = CG，∴ EG=MC．
∴ ．……………………………………………6分
【小題3】（3）如圖③，（1）中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG．
其他的結(jié)論還有：EG⊥CG． ………………………..7分

解析